Rechenoperationen mit Funktionen

Kompetenzcode: FA 1.10

Mit Funktionen kann man nicht nur einzelne Funktionswerte berechnen.

Man kann aus zwei Funktionen auch neue Funktionen bilden.

Gegeben seien zum Beispiel

$$f(x)=2x+3$$

und

$$g(x)=x^2-1.$$

Wir können

• $f$ und $g$ addieren,
• $f$ und $g$ subtrahieren,
• $f$ und $g$ multiplizieren,

Der letzte Vorgang heißt Verkettung von Funktionen.

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1. Zwei Funktionen addieren

Sind zwei Funktionen $f$ und $g$ gegeben, lautet ihre Summenfunktion:

$$\boxed{ (f+g)(x)=f(x)+g(x) }$$

Man setzt also denselben $x$-Wert in beide Funktionen ein und addiert die beiden Ergebnisse.

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2. Beispiel zur Summenfunktion

Gegeben:

$$f(x)=2x+3$$

und

$$g(x)=x^2-1.$$

Dann:

$$\begin{aligned} (f+g)(x) &=f(x)+g(x)\\ &=(2x+3)+(x^2-1)\\ &=x^2+2x+2. \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{ (f+g)(x)=x^2+2x+2 }$$

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3. Definitionsbereich der Summenfunktion

Damit

$$f(x)+g(x)$$

berechnet werden kann, müssen beide Funktionswerte definiert sein.

Daher gilt:

$$\boxed{ D_{f+g}=D_f\cap D_g }$$

Beispiel:

$$D_f=\mathbb R$$

und

$$D_g=\mathbb R\setminus\{2\}.$$

Dann:

$$D_{f+g} = \mathbb R\setminus\{2\}.$$

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4. Funktionen subtrahieren

Die Differenzfunktion lautet:

$$\boxed{ (f-g)(x)=f(x)-g(x) }$$

Hier ist besonders auf Klammern zu achten.

Die gesamte zweite Funktion wird subtrahiert.

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5. Beispiel zur Differenzfunktion

Wieder:

$$f(x)=2x+3$$

und

$$g(x)=x^2-1.$$

Dann:

$$\begin{aligned} (f-g)(x) &=f(x)-g(x)\\ &=(2x+3)-(x^2-1)\\ &=2x+3-x^2+1\\ &=-x^2+2x+4. \end{aligned}$$

Also:

$$\boxed{ (f-g)(x)=-x^2+2x+4 }$$

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6. Warum ist die Klammer wichtig?

Betrachten wir:

$$f(x)-(x^2-1).$$

Das Minuszeichen wirkt auf beide Terme in der Klammer:

$$-(x^2-1) = -x^2+1.$$

Ein häufiger Fehler wäre:

$$2x+3-x^2-1.$$

Das ist falsch, weil das Minus vor der Klammer nicht vollständig berücksichtigt wurde.

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7. Definitionsbereich der Differenzfunktion

Auch für die Differenz müssen beide Funktionen definiert sein:

$$\boxed{ D_{f-g}=D_f\cap D_g }$$

Die Subtraktion selbst erzeugt keine zusätzliche Einschränkung.

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8. Funktionen multiplizieren

Die Produktfunktion lautet:

$$\boxed{ (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x) }$$

Die beiden Funktionsterme werden miteinander multipliziert.

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9. Beispiel zur Produktfunktion

Gegeben:

$$f(x)=2x+3$$

und

$$g(x)=x^2-1.$$

Dann:

$$\begin{aligned} (f\cdot g)(x) &=(2x+3)(x^2-1)\\ &=2x^3-2x+3x^2-3\\ &=2x^3+3x^2-2x-3. \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{ (f\cdot g)(x) = 2x^3+3x^2-2x-3 }$$

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10. Definitionsbereich der Produktfunktion

Auch ein Produkt ist nur dort definiert, wo beide Ausgangsfunktionen definiert sind.

Deshalb:

$$\boxed{ D_{f\cdot g}=D_f\cap D_g }$$

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11. Funktionen dividieren

Die Quotientenfunktion lautet:

$$\boxed{ \left(\frac fg\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} }$$

Dabei gibt es eine zusätzliche Bedingung:

$$\boxed{ g(x)\neq0 }$$

Denn durch $0$ darf nicht dividiert werden.

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12. Beispiel zur Quotientenfunktion

Gegeben:

$$f(x)=2x+3$$

und

$$g(x)=x^2-1.$$

Dann:

$$\boxed{ \left(\frac fg\right)(x) = \frac{2x+3}{x^2-1} }$$

Nun muss der Nenner untersucht werden.

Es gilt:

$$x^2-1=0.$$

Faktorisieren:

$$(x-1)(x+1)=0.$$

Daher:

$$x=1$$

oder

$$x=-1.$$

Diese beiden Werte müssen ausgeschlossen werden.

Also:

$$\boxed{ D_{\frac fg} = \mathbb R\setminus\{-1,1\} }$$

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13. Allgemeiner Definitionsbereich einer Quotientenfunktion

Allgemein gilt:

$$\boxed{ D_{\frac fg} = \left\{ x\in D_f\cap D_g \mid g(x)\neq0 \right\} }$$

Wir benötigen also zwei Prüfungen:

1. Sind $f(x)$ und $g(x)$ überhaupt definiert?
2. Ist der Nenner $g(x)$ ungleich $0$?

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14. Kürzen ändert verbotene Werte nicht

Betrachten wir:

$$f(x)=x^2-1$$

und

$$g(x)=x-1.$$

Dann:

$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2-1}{x-1}.$$

Faktorisieren:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}.$$

Für

$$x\neq1$$

kann gekürzt werden:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1.$$

Trotzdem bleibt

$$x=1$$

für die ursprüngliche Quotientenfunktion ausgeschlossen.

Daher:

$$\boxed{ D_{\frac fg} = \mathbb R\setminus\{1\} }$$

Merke:
Ein verbotener Nennerwert wird durch späteres Kürzen nicht wieder erlaubt.

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15. Die vier Grundrechenarten im Überblick

Für zwei Funktionen $f$ und $g$:

Addition

$$\boxed{ (f+g)(x)=f(x)+g(x) }$$

Subtraktion

$$\boxed{ (f-g)(x)=f(x)-g(x) }$$

Multiplikation

$$\boxed{ (f\cdot g)(x)=f(x)g(x) }$$

Division

$$\boxed{ \left(\frac fg\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} }$$

mit

$$g(x)\neq0.$$

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16. Was bedeutet Funktionen verketten?

Bei einer Verkettung werden die beiden Funktionswerte nicht miteinander verrechnet.

Stattdessen wird eine Funktion in die andere eingesetzt.

Die Verkettung

$$f\circ g$$

wird definiert durch

$$\boxed{ (f\circ g)(x)=f(g(x)) }$$

Man liest:

$f$ nach $g$

oder:

$f$ verkettet mit $g$.

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17. Welche Funktion wird zuerst ausgeführt?

Bei

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

steht $g(x)$ innen.

Deshalb wird zuerst $g$ ausgeführt.

Das Ergebnis von $g$ wird anschließend in $f$ eingesetzt.

Schematisch:

$$x \longrightarrow g(x) \longrightarrow f(g(x)).$$

Merke:
Bei $f\circ g$ kommt zuerst $g$, danach $f$.

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18. Verkettung Schritt für Schritt

Gegeben:

$$f(x)=2x+3$$

und

$$g(x)=x^2-1.$$

Gesucht:

$$(f\circ g)(x).$$

Definition:

$$(f\circ g)(x)=f(g(x)).$$

Wir setzen

$$g(x)=x^2-1$$

anstelle des $x$ in $f$ ein.

Da

$$f(x)=2x+3,$$

erhalten wir:

$$f(g(x)) = 2\cdot g(x)+3.$$

Nun $g(x)$ einsetzen:

$$\begin{aligned} f(g(x)) &=2(x^2-1)+3\\ &=2x^2-2+3\\ &=2x^2+1. \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{ (f\circ g)(x)=2x^2+1 }$$

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19. Verkettung durch vollständiges Ersetzen

Ein hilfreicher Gedanke ist:

Jeder Platzhalter $x$ in der äußeren Funktion wird durch den gesamten inneren Funktionsterm ersetzt.

Beispiel:

$$f(x)=x^2+4x$$

und

$$g(x)=3x-1.$$

Dann:

$$f(g(x)) = (g(x))^2+4g(x).$$

Einsetzen:

$$f(g(x)) = (3x-1)^2+4(3x-1).$$

Erst jetzt wird vereinfacht:

$$\begin{aligned} f(g(x)) &=9x^2-6x+1+12x-4\\ &=9x^2+6x-3. \end{aligned}$$

Also:

$$\boxed{ (f\circ g)(x)=9x^2+6x-3 }$$

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20. Klammern bei Verkettungen

Klammern sind besonders wichtig.

Ist

$$f(x)=x^2,$$

dann bedeutet

$$f(g(x))$$

nicht

$$g(x^2).$$

Sondern:

$$\boxed{ f(g(x))=(g(x))^2 }$$

Beispiel:

$$g(x)=x+2.$$

Dann:

$$f(g(x)) = (x+2)^2.$$

Ausmultipliziert:

$$\boxed{ f(g(x)) = x^2+4x+4 }$$

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21. Definitionsbereich einer Verkettung

Bei

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

muss zuerst $g(x)$ berechnet werden können.

Außerdem muss der Wert $g(x)$ als Eingabe für $f$ erlaubt sein.

Daher gilt:

$$\boxed{ D_{f\circ g} = \left\{ x\in D_g \mid g(x)\in D_f \right\} }$$

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22. Beispiel zum Definitionsbereich einer Verkettung

Gegeben:

$$f(x)=\sqrt{x}$$

und

$$g(x)=x-3.$$

Dann:

$$(f\circ g)(x) = \sqrt{x-3}.$$

Für eine reelle Quadratwurzel muss gelten:

$$x-3\geq0.$$

Also:

$$x\geq3.$$

Damit:

$$\boxed{ D_{f\circ g}=[3,\infty) }$$

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23. Reihenfolge einer Verkettung

Nun betrachten wir mit denselben Funktionen beide Reihenfolgen:

$$f(x)=2x+3,$$ $$g(x)=x^2-1.$$

Wir haben bereits:

$$(f\circ g)(x) = 2x^2+1.$$

Nun bestimmen wir:

$$(g\circ f)(x).$$

Definition:

$$(g\circ f)(x)=g(f(x)).$$

Da

$$g(x)=x^2-1,$$

wird der gesamte Term $f(x)$ anstelle von $x$ eingesetzt:

$$g(f(x)) = (f(x))^2-1.$$

Also:

$$\begin{aligned} g(f(x)) &=(2x+3)^2-1\\ &=4x^2+12x+9-1\\ &=4x^2+12x+8. \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{ (g\circ f)(x)=4x^2+12x+8 }$$

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24. $f\circ g$ und $g\circ f$ sind meist verschieden

Wir haben:

$$(f\circ g)(x)=2x^2+1$$

aber

$$(g\circ f)(x)=4x^2+12x+8.$$

Daher:

$$\boxed{ f\circ g\neq g\circ f }$$

im Allgemeinen.

Die Reihenfolge einer Funktionsverkettung darf also nicht vertauscht werden.

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25. Warum verändert die Reihenfolge das Ergebnis?

Betrachten wir die Wirkung wie eine Maschine.

Bei

$$f\circ g$$

geschieht:

$$x \longrightarrow g(x) \longrightarrow f(g(x)).$$

Bei

$$g\circ f$$

geschieht:

$$x \longrightarrow f(x) \longrightarrow g(f(x)).$$

Die beiden Verarbeitungsschritte werden in unterschiedlicher Reihenfolge durchgeführt.

Deshalb entsteht normalerweise ein anderes Ergebnis.

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26. Zahlenbeispiel zur Reihenfolge

Gegeben:

$$f(x)=x+2$$

und

$$g(x)=3x.$$

Für

$$x=4$$

gilt zunächst:

$$g(4)=12.$$

Danach:

$$f(12)=14.$$

Damit:

$$(f\circ g)(4)=14.$$

Umgekehrt:

$$f(4)=6.$$

Danach:

$$g(6)=18.$$

Also:

$$(g\circ f)(4)=18.$$

Damit sieht man direkt:

$$14\neq18.$$

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27. Produkt und Verkettung nicht verwechseln

Diese beiden Schreibweisen bedeuten etwas völlig anderes.

Produkt

$$(f\cdot g)(x) = f(x)\cdot g(x).$$

Die beiden Funktionswerte werden multipliziert.

Verkettung

$$(f\circ g)(x) = f(g(x)).$$

Der Funktionswert von $g$ wird in $f$ eingesetzt.

Beispiel:

$$f(x)=x+1, \qquad g(x)=x^2.$$

Dann:

$$(f\cdot g)(x) = (x+1)x^2 = x^3+x^2.$$

Aber:

$$(f\circ g)(x) = x^2+1.$$

Das sind verschiedene Funktionen.

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28. Vollständiges Beispiel

Gegeben:

$$f(x)=x+4$$

und

$$g(x)=2x-3.$$

Wir bestimmen alle wichtigen Rechenoperationen.

Summe

$$\begin{aligned} (f+g)(x) &=(x+4)+(2x-3)\\ &=3x+1. \end{aligned}$$

Differenz

$$\begin{aligned} (f-g)(x) &=(x+4)-(2x-3)\\ &=x+4-2x+3\\ &=-x+7. \end{aligned}$$

Produkt

$$\begin{aligned} (f\cdot g)(x) &=(x+4)(2x-3)\\ &=2x^2-3x+8x-12\\ &=2x^2+5x-12. \end{aligned}$$

Quotient

$$\left(\frac fg\right)(x) = \frac{x+4}{2x-3}.$$

Der Nenner darf nicht null sein:

$$\begin{aligned} 2x-3&\neq0\\ 2x&\neq3\\ x&\neq\frac32. \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{ D_{\frac fg} = \mathbb R\setminus \left\{ \frac32 \right\} }$$

Verkettung $f\circ g$

$$\begin{aligned} (f\circ g)(x) &=f(g(x))\\ &=(2x-3)+4\\ &=2x+1. \end{aligned}$$

Verkettung $g\circ f$

$$\begin{aligned} (g\circ f)(x) &=g(f(x))\\ &=2(x+4)-3\\ &=2x+8-3\\ &=2x+5. \end{aligned}$$

Somit:

$$\boxed{ (f\circ g)(x)\neq(g\circ f)(x) }$$

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29. Typische Fehler

Fehler 1: Funktionsnamen statt Funktionsterme verrechnen

Aus

$$(f+g)(x)$$

wird zuerst

$$f(x)+g(x).$$

Erst danach werden die konkreten Funktionsterme eingesetzt.

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Fehler 2: Minusklammer vergessen

Bei

$$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$$

muss der gesamte Term von $g(x)$ subtrahiert werden.

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Fehler 3: Beim Produkt nicht vollständig ausmultiplizieren

Bei

$$(2x+1)(x-3)$$

muss jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert werden.

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Fehler 4: Nullstellen des Nenners nicht ausschließen

Bei

$$\frac{f(x)}{g(x)}$$

muss immer geprüft werden:

$$g(x)\neq0.$$

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Fehler 5: Nach dem Kürzen einen verbotenen Wert wieder zulassen

Ein Wert, für den der ursprüngliche Nenner null war, bleibt ausgeschlossen.

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Fehler 6: Produkt und Verkettung verwechseln

$$f(x)\cdot g(x)$$

ist nicht dasselbe wie

$$f(g(x)).$$

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Fehler 7: Verkettung in falscher Reihenfolge

$$(f\circ g)(x) = f(g(x)).$$

Die innere Funktion $g$ wird zuerst ausgeführt.

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Fehler 8: Inneren Funktionsterm nicht vollständig einklammern

Für

$$f(x)=x^2$$

gilt:

$$f(g(x)) = (g(x))^2.$$

Die gesamte innere Funktion wird quadriert.

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30. Vorgehensplan für Grundrechenarten

Gegeben sind $f$ und $g$.

1. Gewünschte Operation erkennen.
2. Definition hinschreiben.
3. $f(x)$ und $g(x)$ einsetzen.
4. Klammern sorgfältig auflösen.
5. Term vereinfachen.
6. Definitionsbereich prüfen.
7. Bei einem Quotienten zusätzlich Nennernullstellen ausschließen.

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31. Vorgehensplan für Verkettungen

Gesucht sei

$$(f\circ g)(x).$$

Schritt 1

Definition:

$$(f\circ g)(x)=f(g(x)).$$

Schritt 2

Äußere Funktion bestimmen:

$$f.$$

Schritt 3

Innere Funktion bestimmen:

$$g.$$

Schritt 4

In $f(x)$ jedes $x$ durch den gesamten Term $g(x)$ ersetzen.

Schritt 5

Klammern auflösen und vereinfachen.

Schritt 6

Definitionsbereich prüfen.

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32. Zusammenfassung

Addition

$$\boxed{ (f+g)(x)=f(x)+g(x) }$$

Subtraktion

$$\boxed{ (f-g)(x)=f(x)-g(x) }$$

Multiplikation

$$\boxed{ (f\cdot g)(x)=f(x)g(x) }$$

Division

$$\boxed{ \left(\frac fg\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} }$$

mit

$$g(x)\neq0.$$

Verkettung

$$\boxed{ (f\circ g)(x)=f(g(x)) }$$

Dabei gilt im Allgemeinen:

$$\boxed{ f\circ g\neq g\circ f }$$

Merke:
Bei den Grundrechenarten werden $f(x)$ und $g(x)$ miteinander verrechnet.
Bei einer Verkettung wird eine Funktion in die andere eingesetzt.