Umkehrfunktionen

Kompetenzcode: FA 1.11

Eine Funktion ordnet einem Eingabewert $x$ einen Ausgabewert $y$ zu.

Zum Beispiel:

$$f(x)=2x+3.$$

Für

$$x=4$$

erhalten wir:

$$f(4)=11.$$

Die Umkehrfunktion stellt nun die umgekehrte Frage:

Welcher ursprüngliche $x$-Wert führte zum Ergebnis $11$?

Die Antwort ist:

$$4.$$

Eine Umkehrfunktion macht also die Zuordnung einer Funktion wieder rückgängig.

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1. Idee der Umkehrfunktion

Ist eine Funktion $f$ eindeutig umkehrbar, wird ihre Umkehrfunktion mit

$$\boxed{f^{-1}}$$

bezeichnet.

Es gilt sinngemäß:

$$x \xrightarrow{\,f\,} y \xrightarrow{\,f^{-1}\,} x.$$

Die Umkehrfunktion vertauscht also Eingabe und Ausgabe.

Wenn

$$f(4)=11,$$

dann gilt:

$$f^{-1}(11)=4.$$

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2. $f^{-1}$ ist nicht der Kehrwert

Die Schreibweise

$$f^{-1}(x)$$

bedeutet Umkehrfunktion.

Sie bedeutet nicht:

$$\frac{1}{f(x)}.$$

Diese beiden Ausdrücke sind im Allgemeinen völlig verschieden.

Beispiel:

$$f(x)=2x.$$

Die Umkehrfunktion ist:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}.$$

Der Kehrwert wäre dagegen:

$$\frac1{f(x)} = \frac1{2x}.$$

Also:

$$\boxed{ f^{-1}(x)\neq\frac1{f(x)} }$$

im Allgemeinen.

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3. Wann besitzt eine Funktion eine Umkehrfunktion?

Damit eine Funktion eindeutig umkehrbar ist, darf ein Funktionswert nicht von mehreren verschiedenen Eingabewerten erzeugt werden.

Anders formuliert:

Jeder betrachtete $y$-Wert darf höchstens einem $x$-Wert zugeordnet sein.

Eine solche Funktion nennt man injektiv.

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4. Beispiel einer umkehrbaren Funktion

Betrachten wir:

$$f(x)=2x+1.$$

Für verschiedene $x$-Werte entstehen verschiedene Funktionswerte.

Zum Beispiel:

$$f(1)=3,$$ $$f(2)=5,$$ $$f(3)=7.$$

Kein Ausgabewert wird doppelt erreicht.

Die Funktion ist auf

$$\mathbb R$$

eindeutig umkehrbar.

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5. Beispiel einer nicht eindeutig umkehrbaren Funktion

Betrachten wir:

$$f(x)=x^2$$

auf

$$D_f=\mathbb R.$$

Dann gilt:

$$f(2)=4$$

und gleichzeitig:

$$f(-2)=4.$$

Der Wert $4$ besitzt also zwei mögliche ursprüngliche Eingabewerte.

Wenn man die Zuordnung umkehren wollte, müsste man fragen:

$$4\longmapsto2$$

oder

$$4\longmapsto-2?$$

Das ist nicht eindeutig.

Deshalb besitzt

$$f(x)=x^2$$

auf ganz $\mathbb R$ keine Umkehrfunktion im üblichen Sinn.

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6. Definitionsbereich einschränken

Manchmal kann eine zunächst nicht umkehrbare Funktion durch eine geeignete Einschränkung des Definitionsbereichs umkehrbar gemacht werden.

Für

$$f(x)=x^2$$

wählen wir zum Beispiel:

$$D_f=[0,\infty).$$

Dann ist jeder Funktionswert eindeutig einem nichtnegativen $x$-Wert zugeordnet.

Die Umkehrfunktion lautet dann:

$$\boxed{ f^{-1}(x)=\sqrt{x} }$$

mit

$$D_{f^{-1}}=[0,\infty).$$

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7. Graphisch auf Umkehrbarkeit prüfen

Auch am Graphen kann man erkennen, ob eine Funktion eindeutig umkehrbar ist.

Dazu denkt man sich waagrechte Geraden.

Schneidet jede waagrechte Gerade den Graphen höchstens einmal, ist die Funktion im betrachteten Bereich eindeutig umkehrbar.

Schneidet eine waagrechte Gerade den Graphen mehrfach, erhält derselbe Funktionswert mehrere verschiedene $x$-Werte.

Dann ist die Funktion dort nicht eindeutig umkehrbar.

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8. Umkehrfunktion algebraisch bestimmen

Betrachten wir:

$$f(x)=2x+3.$$

Gesucht ist:

$$f^{-1}(x).$$

Wir gehen schrittweise vor.

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9. Schritt 1: $y=f(x)$ schreiben

Aus

$$f(x)=2x+3$$

machen wir:

$$y=2x+3.$$

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10. Schritt 2: $x$ und $y$ vertauschen

Da Eingabe und Ausgabe umgekehrt werden, vertauschen wir $x$ und $y$:

$$x=2y+3.$$

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11. Schritt 3: Nach $y$ auflösen

Nun lösen wir nach $y$ auf:

$$\begin{aligned} x&=2y+3 &&/-3\\ x-3&=2y &&/:2\\ \frac{x-3}{2}&=y. \end{aligned}$$

Damit:

$$y=\frac{x-3}{2}.$$

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12. Schritt 4: Umkehrfunktion anschreiben

Wir erhalten:

$$\boxed{ f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2} }$$

Damit ist die Umkehrfunktion bestimmt.

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13. Probe durch Rückgängigmachen

Die Ausgangsfunktion lautet:

$$f(x)=2x+3.$$

Die Umkehrfunktion lautet:

$$f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.$$

Wir setzen $f(x)$ in die Umkehrfunktion ein:

$$f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x+3)-3}{2}.$$

Vereinfachen:

$$\begin{aligned} f^{-1}(f(x)) &= \frac{2x}{2}\\ &=x. \end{aligned}$$

Die Umkehrfunktion macht die ursprüngliche Zuordnung tatsächlich rückgängig.

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14. Umgekehrte Probe

Wir können auch umgekehrt prüfen:

$$f(f^{-1}(x)).$$

Einsetzen:

$$f\left(\frac{x-3}{2}\right) = 2\cdot\frac{x-3}{2}+3.$$

Vereinfachen:

$$\begin{aligned} f(f^{-1}(x)) &=x-3+3\\ &=x. \end{aligned}$$

Damit gilt auf den passenden Bereichen:

$$\boxed{ f^{-1}(f(x))=x }$$

und

$$\boxed{ f(f^{-1}(x))=x. }$$

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15. Zweites Beispiel: Bruchfunktion

Gegeben:

$$f(x)=\frac{x+1}{2}.$$

Wir schreiben:

$$y=\frac{x+1}{2}.$$

Vertauschen:

$$x=\frac{y+1}{2}.$$

Nach $y$ auflösen:

$$\begin{aligned} x&=\frac{y+1}{2} &&/\cdot2\\ 2x&=y+1 &&/-1\\ 2x-1&=y. \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{ f^{-1}(x)=2x-1 }$$

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16. Beispiel mit eingeschränkter quadratischer Funktion

Gegeben:

$$f(x)=x^2$$

mit

$$D_f=[0,\infty).$$

Wir schreiben:

$$y=x^2.$$

Vertauschen:

$$x=y^2.$$

Nach $y$ auflösen.

Da wegen des ursprünglichen Definitionsbereichs nur

$$y\geq0$$

relevant ist, gilt:

$$y=\sqrt{x}.$$

Daher:

$$\boxed{ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. }$$

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17. Warum nicht $\pm\sqrt{x}$?

Aus

$$x=y^2$$

könnte algebraisch zunächst

$$y=\pm\sqrt{x}$$

entstehen.

Aber eine Funktion darf jedem Eingabewert nur einen Funktionswert zuordnen.

Außerdem wurde die ursprüngliche Funktion auf

$$[0,\infty)$$

eingeschränkt.

Deshalb verwenden wir:

$$\boxed{ y=\sqrt{x}. }$$

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18. Graph von Funktion und Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion vertauscht die Rollen von $x$ und $y$.

Ein Punkt

$$P(a|b)$$

auf dem Graphen von $f$ wird deshalb zum Punkt

$$P'(b|a)$$

auf dem Graphen von $f^{-1}$.

Beispiel:

Wenn

$$(2|7)$$

auf dem Graphen von $f$ liegt, dann liegt

$$(7|2)$$

auf dem Graphen von $f^{-1}$.

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19. Spiegelung an $y=x$

Das Vertauschen der Koordinaten

$$(a|b) \longrightarrow (b|a)$$

entspricht geometrisch einer Spiegelung an der Geraden

$$\boxed{ y=x. }$$

Daher gilt:

Der Graph einer Funktion und der Graph ihrer Umkehrfunktion sind Spiegelbilder an der Geraden $y=x$.

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20. Beispiel zur Spiegelung

Gegeben:

$$f(x)=2x+3.$$

Die Umkehrfunktion lautet:

$$f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.$$

Ein Punkt des ursprünglichen Graphen ist:

$$P(1|5).$$

Denn:

$$f(1)=5.$$

Auf dem Graphen der Umkehrfunktion liegt daher:

$$P'(5|1).$$

Tatsächlich:

$$f^{-1}(5) = \frac{5-3}{2} = 1.$$

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21. Definitionsmenge und Wertemenge

Eine Funktion besitzt eine Definitionsmenge.

Sie enthält die erlaubten Eingabewerte.

Wir schreiben:

$$D_f.$$

Außerdem besitzt eine Funktion eine Wertemenge.

Sie enthält die tatsächlich möglichen Ausgabewerte.

Wir schreiben zum Beispiel:

$$W_f.$$

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22. Beim Umkehren werden die Mengen vertauscht

Da Eingabe und Ausgabe ihre Rollen wechseln, gilt:

$$\boxed{ D_{f^{-1}}=W_f }$$

und

$$\boxed{ W_{f^{-1}}=D_f. }$$

Das ist ein zentraler Zusammenhang.

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23. Beispiel zu Definitions- und Wertemenge

Betrachten wir:

$$f(x)=x^2$$

mit

$$D_f=[0,\infty).$$

Auch die möglichen Funktionswerte sind:

$$W_f=[0,\infty).$$

Die Umkehrfunktion lautet:

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x}.$$

Damit:

$$D_{f^{-1}} = [0,\infty) = W_f$$

und

$$W_{f^{-1}} = [0,\infty) = D_f.$$

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24. Beispiel mit unterschiedlichen Bereichen

Gegeben sei:

$$f(x)=e^x.$$

Dann gilt:

$$D_f=\mathbb R$$

und

$$W_f=(0,\infty).$$

Die Umkehrfunktion ist die natürliche Logarithmusfunktion:

$$f^{-1}(x)=\ln x.$$

Daher:

$$D_{f^{-1}}=(0,\infty)$$

und

$$W_{f^{-1}}=\mathbb R.$$

Man erkennt:

$$D_{f^{-1}}=W_f$$

und

$$W_{f^{-1}}=D_f.$$

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25. Umkehrbarkeit hängt vom Definitionsbereich ab

Die Frage

Ist diese Funktion umkehrbar?

ist oft unvollständig.

Man muss genauer fragen:

Ist diese Funktion auf dem betrachteten Definitionsbereich umkehrbar?

Beispiel:

$$f(x)=x^2.$$

Auf

$$\mathbb R$$

ist sie nicht eindeutig umkehrbar.

Auf

$$[0,\infty)$$

ist sie eindeutig umkehrbar.

Auch auf

$$(-\infty,0]$$

könnte man sie eindeutig umkehren.

Dann wäre die Umkehrfunktion jedoch:

$$f^{-1}(x)=-\sqrt{x}.$$

Der gewählte Definitionsbereich ist also entscheidend.

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26. Vollständiges Beispiel

Gegeben:

$$f(x)=3x-6.$$

Umkehrbarkeit

Die Funktion ist linear mit einer von null verschiedenen Steigung.

Verschiedene $x$-Werte liefern verschiedene Funktionswerte.

Sie ist auf

$$\mathbb R$$

eindeutig umkehrbar.

Umkehrfunktion bestimmen

$$y=3x-6.$$

Vertauschen:

$$x=3y-6.$$

Nach $y$ auflösen:

$$\begin{aligned} x&=3y-6 &&/+6\\ x+6&=3y &&/:3\\ \frac{x+6}{3}&=y. \end{aligned}$$

Also:

$$\boxed{ f^{-1}(x)=\frac{x+6}{3}. }$$

Definitions- und Wertemengen

Für die Ausgangsfunktion:

$$D_f=\mathbb R, \qquad W_f=\mathbb R.$$

Daher:

$$D_{f^{-1}}=\mathbb R, \qquad W_{f^{-1}}=\mathbb R.$$

Graphische Beziehung

Die beiden Graphen sind Spiegelbilder an

$$y=x.$$

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27. Typische Fehler

Fehler 1: Umkehrfunktion mit Kehrwert verwechseln

Falsch:

$$f^{-1}(x)=\frac1{f(x)}.$$

Die Umkehrfunktion macht eine Zuordnung rückgängig.

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Fehler 2: Nicht auf Umkehrbarkeit prüfen

Nicht jede Funktion besitzt auf ihrem gesamten Definitionsbereich eine eindeutige Umkehrfunktion.

Beispiel:

$$x^2$$

auf

$$\mathbb R.$$

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Fehler 3: Nur $x$ und $y$ vertauschen

Nach dem Vertauschen muss die Gleichung wieder nach $y$ aufgelöst werden.

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Fehler 4: Definitionsbereich ignorieren

Bei

$$f(x)=x^2$$

entscheidet der gewählte Definitionsbereich darüber, ob und welche Umkehrfunktion entsteht.

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Fehler 5: Definitions- und Wertemenge nicht vertauschen

Beim Übergang von $f$ zu $f^{-1}$ gilt:

$$D_{f^{-1}}=W_f$$

und

$$W_{f^{-1}}=D_f.$$

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Fehler 6: Spiegelachse falsch angeben

Funktion und Umkehrfunktion werden an

$$\boxed{y=x}$$

gespiegelt.

Nicht an der $x$-Achse und nicht an der $y$-Achse.

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28. Vorgehensplan: Umkehrbarkeit prüfen

1. Definitionsbereich beachten.
2. Prüfen, ob verschiedene $x$-Werte denselben Funktionswert erzeugen können.
3. Graphisch prüfen, ob eine waagrechte Gerade den Graphen mehrfach schneiden kann.
4. Falls nötig, den Definitionsbereich sinnvoll einschränken.
5. Erst danach eine Umkehrfunktion bestimmen.

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29. Vorgehensplan: Umkehrfunktion berechnen

Gegeben:

$$y=f(x).$$

Schritt 1

Funktionsgleichung mit $y$ schreiben.

Schritt 2

$x$ und $y$ vertauschen.

Schritt 3

Nach $y$ auflösen.

Schritt 4

Schreiben:

$$f^{-1}(x)=\ldots$$

Schritt 5

Definitions- und Wertemengen vertauschen.

Schritt 6

Bei Bedarf kontrollieren:

$$f^{-1}(f(x))=x$$

und

$$f(f^{-1}(x))=x$$

auf den jeweils zulässigen Bereichen.

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30. Zusammenfassung

Bedeutung

Die Umkehrfunktion macht eine eindeutige Zuordnung rückgängig:

$$x \xrightarrow{f} y \xrightarrow{f^{-1}} x.$$

Algebraische Bestimmung

1. $y=f(x)$
2. $x$ und $y$ vertauschen
3. nach $y$ auflösen
4. als $f^{-1}(x)$ anschreiben

Graph

Die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ sind Spiegelbilder an

$$\boxed{y=x}.$$

Mengen

$$\boxed{ D_{f^{-1}}=W_f }$$

und

$$\boxed{ W_{f^{-1}}=D_f. }$$

Merke:
Eine Umkehrfunktion vertauscht Eingabe und Ausgabe.
Deshalb müssen Zuordnung, Graph sowie Definitions- und Wertemenge konsequent umgedreht werden.