Parameterdarstellungen von Kurven

Kompetenzcode: FA 1.12

Eine Kurve in der Ebene wird häufig durch eine Gleichung der Form

$$y=f(x)$$

beschrieben.

Es gibt aber noch eine andere Möglichkeit:

Wir können beide Koordinaten eines Punktes von einem gemeinsamen Parameter abhängig machen.

Zum Beispiel:

$$x(t)=2t$$

und

$$y(t)=t^2.$$

Für jeden erlaubten Wert von $t$ erhalten wir einen bestimmten Punkt der Kurve.

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1. Grundidee einer Parameterdarstellung

Eine ebene Kurve kann durch

$$\boxed{ x=x(t), \qquad y=y(t) }$$

beschrieben werden.

Der Wert $t$ heißt Parameter.

Zu jedem Parameterwert $t$ gehören zwei Koordinaten:

$$x(t)$$

und

$$y(t).$$

Damit entsteht der Kurvenpunkt

$$\boxed{ P(t)=\bigl(x(t)\mid y(t)\bigr) }$$

Der Parameter legt also fest, welcher Punkt der Kurve betrachtet wird.

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2. Beispiel einer Parameterdarstellung

Gegeben sei:

$$x(t)=2t,$$ $$y(t)=t^2.$$

Für verschiedene Parameterwerte erhalten wir verschiedene Punkte.

Für

$$t=0$$

gilt:

$$x(0)=0,$$ $$y(0)=0.$$

Also:

$$P(0)=(0|0).$$

Für

$$t=1$$

gilt:

$$x(1)=2,$$ $$y(1)=1.$$

Also:

$$P(1)=(2|1).$$

Für

$$t=2$$

gilt:

$$x(2)=4,$$ $$y(2)=4.$$

Also:

$$P(2)=(4|4).$$

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3. Parameterdarstellung als Zuordnung

Man kann sich eine Parameterdarstellung als Kette vorstellen:

$$t \longrightarrow x(t),y(t) \longrightarrow P(t).$$

Der Parameterwert wird also nicht selbst als $x$-Koordinate verwendet.

Stattdessen wird er in beide Koordinatenfunktionen eingesetzt.

Beispiel:

$$x(t)=3t-1,$$ $$y(t)=2t+4.$$

Für

$$t=2$$

ist nicht automatisch

$$x=2.$$

Stattdessen:

$$x(2)=3\cdot2-1=5$$

und

$$y(2)=2\cdot2+4=8.$$

Der Punkt lautet:

$$\boxed{ P(2)=(5|8) }$$

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4. Vektorschreibweise

Eine Parameterdarstellung kann auch kompakt als Ortsvektor geschrieben werden:

$$\boxed{ \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t)\\ y(t) \end{pmatrix} }$$

Zum Beispiel:

$$\vec r(t) = \begin{pmatrix} 2t\\ t^2 \end{pmatrix}.$$

Das bedeutet genau dasselbe wie:

$$x(t)=2t$$

und

$$y(t)=t^2.$$

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5. Kurvenpunkt aus einem Parameterwert berechnen

Gegeben:

$$x(t)=t+3,$$ $$y(t)=t^2-1.$$

Gesucht ist der Kurvenpunkt für

$$t=2.$$

Wir setzen $t=2$ in beide Koordinatenfunktionen ein.

Für die $x$-Koordinate:

$$\begin{aligned} x(2) &=2+3\\ &=5. \end{aligned}$$

Für die $y$-Koordinate:

$$\begin{aligned} y(2) &=2^2-1\\ &=4-1\\ &=3. \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{ P(2)=(5|3) }$$

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6. Negativer Parameterwert

Gegeben:

$$x(t)=2t-1,$$ $$y(t)=t^2+2.$$

Gesucht ist der Punkt für

$$t=-2.$$

Für die $x$-Koordinate:

$$\begin{aligned} x(-2) &=2\cdot(-2)-1\\ &=-5. \end{aligned}$$

Für die $y$-Koordinate:

$$\begin{aligned} y(-2) &=(-2)^2+2\\ &=4+2\\ &=6. \end{aligned}$$

Damit:

$$\boxed{ P(-2)=(-5|6) }$$

Wichtig:
Negative Parameterwerte bei Potenzen immer sorgfältig einklammern.

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7. Wertetabelle für eine Parameterdarstellung

Um den Verlauf einer Kurve besser zu verstehen, kann man mehrere Parameterwerte einsetzen.

Gegeben:

$$x(t)=t,$$ $$y(t)=t^2.$$

Dann ergibt sich beispielsweise:

Diese Punkte liegen auf der bekannten Parabel

$$y=x^2.$$

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8. Parameterbereich beachten

Nicht immer darf der Parameter alle reellen Werte annehmen.

Eine Aufgabe könnte zum Beispiel vorgeben:

$$0\leq t\leq5.$$

Dann wird nur jener Teil der Kurve betrachtet, der zu Parameterwerten zwischen $0$ und $5$ gehört.

Der Parameterbereich bestimmt daher mit, welcher Abschnitt einer Kurve dargestellt wird.

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9. Gleiche Kurve – unterschiedliche Parameterdarstellung

Eine Kurve kann durch verschiedene Parameterdarstellungen beschrieben werden.

Zum Beispiel:

$$x(t)=t, \qquad y(t)=t^2$$

beschreibt eine Parabel.

Aber auch

$$x(s)=2s, \qquad y(s)=4s^2$$

beschreibt dieselbe geometrische Kurve.

Denn aus

$$x=2s$$

folgt:

$$s=\frac{x}{2}.$$

Damit:

$$y = 4\left(\frac{x}{2}\right)^2 = x^2.$$

Die Parameterdarstellungen sind verschieden, aber die Punktmenge der Kurve kann dieselbe sein.

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10. Reihenfolge entlang der Kurve

Eine Parameterdarstellung beschreibt nicht nur, welche Punkte auf einer Kurve liegen.

Durch zunehmende Parameterwerte kann auch eine Reihenfolge der Punkte entstehen.

Zum Beispiel:

$$x(t)=t, \qquad y(t)=t^2.$$

Für

$$t=-2,-1,0,1,2$$

werden die Punkte in genau dieser Reihenfolge durchlaufen.

Das kann in Sachaufgaben wichtig sein, wenn $t$ zum Beispiel eine Zeit bezeichnet.

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11. Parametrisch gegebene Kurve elektronisch darstellen

Viele Grafikprogramme und Computeralgebrasysteme können Parameterkurven direkt darstellen.

Dazu benötigt das Programm typischerweise:

• den Term $x(t)$,
• den Term $y(t)$,
• den Parameter $t$,
• einen Parameterbereich.

Zum Beispiel:

$$x(t)=2\cos t,$$ $$y(t)=2\sin t,$$ $$0\leq t\leq2\pi.$$

Die entstehende Kurve ist ein Kreis mit Radius $2$ um den Ursprung.

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12. Warum entsteht beim Beispiel ein Kreis?

Gegeben:

$$x(t)=2\cos t$$

und

$$y(t)=2\sin t.$$

Dann gilt:

$$x(t)^2+y(t)^2 = 4\cos^2 t+4\sin^2 t.$$

Aus

$$\cos^2t+\sin^2t=1$$

folgt:

$$x(t)^2+y(t)^2=4.$$

Damit erfüllen alle Punkte die Kreisgleichung

$$\boxed{ x^2+y^2=4. }$$

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13. Vorgehen mit einem elektronischen Hilfsmittel

Für eine parametrisch gegebene Kurve:

$$x=x(t), \qquad y=y(t)$$

kann man folgendermaßen vorgehen:

1. Parameterkurven-Modus auswählen.
2. $x(t)$ eingeben.
3. $y(t)$ eingeben.
4. Parameter $t$ festlegen.
5. Parameterbereich eingeben.
6. Kurve darstellen lassen.
7. Darstellung auf Plausibilität prüfen.

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14. Darstellung kontrollieren

Auch bei elektronischen Hilfsmitteln sollte man das Ergebnis nicht ungeprüft übernehmen.

Es hilft, einige einzelne Parameterwerte selbst zu berechnen.

Beispiel:

$$x(t)=t, \qquad y(t)=t^2.$$

Für

$$t=0$$

muss der Graph durch

$$(0|0)$$

gehen.

Für

$$t=2$$

muss er den Punkt

$$(2|4)$$

enthalten.

Werden solche Punkte in der Darstellung nicht getroffen, sind möglicherweise Eingabe oder Parameterbereich falsch.

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15. Bedeutung des Parameters im Sachkontext

Der Parameter $t$ kann in Anwendungen eine konkrete Bedeutung besitzen.

Häufig steht $t$ beispielsweise für

• eine Zeit,
• einen Wegparameter,
• einen Winkel,
• einen technischen Steuerwert.

Die Bedeutung muss immer aus der Aufgabenstellung entnommen werden.

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16. Beispiel: Parameter als Zeit

Die Position eines bewegten Objekts werde beschrieben durch

$$x(t)=3t,$$ $$y(t)=t^2,$$

wobei $t$ die Zeit in Sekunden bezeichnet.

Für

$$t=2$$

erhalten wir:

$$x(2)=6$$

und

$$y(2)=4.$$

Der Punkt lautet:

$$P(2)=(6|4).$$

Interpretation:

Nach $2$ Sekunden befindet sich das Objekt am Punkt $(6|4)$.

Der Parameterwert

$$t=2$$

bedeutet hier also nicht einfach nur eine mathematische Zahl, sondern konkret:

$$\boxed{\text{2 Sekunden}}$$

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17. Parameterwert und Koordinate nicht verwechseln

Im letzten Beispiel gilt:

$$t=2.$$

Aber:

$$x(2)=6$$

und

$$y(2)=4.$$

Also ist

$$t$$

weder automatisch die $x$-Koordinate noch die $y$-Koordinate.

Der Parameter ist die Eingabe für beide Koordinatenfunktionen.

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18. Beispiel mit Winkelparameter

Gegeben:

$$x(\varphi)=5\cos\varphi,$$ $$y(\varphi)=5\sin\varphi.$$

Hier ist der Parameter ein Winkel.

Für

$$\varphi=90^\circ$$

gilt:

$$x(90^\circ)=0,$$ $$y(90^\circ)=5.$$

Damit:

$$P(90^\circ)=(0|5).$$

Der Parameterwert $90^\circ$ beschreibt hier die Winkelposition auf dem Kreis.

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19. Vollständiges Beispiel

Gegeben ist:

$$x(t)=t^2-1,$$ $$y(t)=2t+1$$

für

$$-2\leq t\leq2.$$

Punkt für $t=-1$

$$x(-1) = (-1)^2-1 = 0.$$ $$y(-1) = 2(-1)+1 = -1.$$

Also:

$$P(-1)=(0|-1).$$

Punkt für $t=0$

$$x(0)=-1,$$ $$y(0)=1.$$

Also:

$$P(0)=(-1|1).$$

Punkt für $t=2$

$$x(2)=3,$$ $$y(2)=5.$$

Also:

$$P(2)=(3|5).$$

Diese Punkte können zur Kontrolle einer elektronisch erzeugten Darstellung verwendet werden.

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20. Typische Fehler

Fehler 1: Parameter mit $x$ verwechseln

Bei

$$x(t)=2t+1$$

ist $t$ die Eingabe der Koordinatenfunktion.

Es gilt nicht automatisch:

$$x=t.$$

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Fehler 2: Nur eine Koordinate berechnen

Ein Kurvenpunkt benötigt beide Werte:

$$P(t)=\bigl(x(t)|y(t)\bigr).$$

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Fehler 3: Unterschiedliche Parameterwerte verwenden

Für einen bestimmten Kurvenpunkt muss derselbe Parameterwert in $x(t)$ und $y(t)$ eingesetzt werden.

Falsch wäre beispielsweise:

$$x(1)$$

mit

$$y(2).$$

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Fehler 4: Klammern bei negativen Werten vergessen

Für

$$x(t)=t^2$$

und

$$t=-3$$

gilt:

$$x(-3)=(-3)^2=9.$$

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Fehler 5: Parameterbereich ignorieren

Wenn nur

$$0\leq t\leq4$$

erlaubt ist, dürfen Punkte außerhalb dieses Parameterbereichs nicht zur beschriebenen Kurve im betrachteten Modell gezählt werden.

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Fehler 6: Sachbedeutung des Parameters vergessen

Ein Ergebnis wie

$$t=6$$

ist in einer Sachaufgabe unvollständig, wenn $t$ beispielsweise Sekunden beschreibt.

Dann muss geschrieben werden:

$$t=6\,\mathrm{s}.$$

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21. Vorgehensplan: Kurvenpunkt berechnen

Gegeben:

$$x=x(t), \qquad y=y(t)$$

und ein Parameterwert

$$t=t_0.$$

Schritt 1

$t_0$ in $x(t)$ einsetzen.

Schritt 2

Berechnen:

$$x(t_0).$$

Schritt 3

Denselben Parameterwert in $y(t)$ einsetzen.

Schritt 4

Berechnen:

$$y(t_0).$$

Schritt 5

Punkt anschreiben:

$$\boxed{ P(t_0) = \bigl(x(t_0)|y(t_0)\bigr) }$$

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22. Vorgehensplan: Kurve darstellen

1. Koordinatenfunktionen $x(t)$ und $y(t)$ erkennen.
2. Erlaubten Parameterbereich feststellen.
3. Einige Kontrollpunkte berechnen.
4. Parameterdarstellung in das elektronische Hilfsmittel eingeben.
5. Parameterbereich festlegen.
6. Kurve zeichnen lassen.
7. Kontrollpunkte mit der Grafik vergleichen.
8. Achsenskalierung und Ausschnitt prüfen.

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23. Vorgehensplan: Parameter im Kontext deuten

1. In der Aufgabenstellung nachsehen, wofür der Parameter steht.
2. Einheit des Parameters bestimmen.
3. Den gegebenen oder berechneten Parameterwert in dieser Bedeutung formulieren.
4. Falls gefragt, den zugehörigen Punkt berechnen.
5. Antwort in einem vollständigen Sachzusammenhang formulieren.

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24. Zusammenfassung

Eine ebene Parameterkurve kann geschrieben werden als

$$\boxed{ x=x(t), \qquad y=y(t) }$$

oder als

$$\boxed{ \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t)\\ y(t) \end{pmatrix}. }$$

Zu einem Parameterwert $t_0$ gehört der Punkt

$$\boxed{ P(t_0) = \bigl(x(t_0)|y(t_0)\bigr). }$$

Der Parameter kann im Sachkontext beispielsweise eine Zeit oder einen Winkel darstellen.

Merke:
Ein Parameterwert bestimmt einen Punkt, indem derselbe Wert in beide Koordinatenfunktionen eingesetzt wird.