Trigonometrie im allgemeinen Dreieck

Kompetenzcode: AG 4.3

Bei rechtwinkligen Dreiecken reichen häufig

$$\sin,\qquad \cos,\qquad \tan$$

und der Satz des Pythagoras.

Ein allgemeines Dreieck muss aber keinen rechten Winkel besitzen.

Für solche Dreiecke benötigen wir vor allem

• den Sinussatz,
• den Cosinussatz,
• die trigonometrische Flächenformel.

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1. Bezeichnungen im allgemeinen Dreieck

Wir verwenden die übliche Beschriftung:

• Seite $a$ liegt gegenüber dem Winkel $\alpha$,
• Seite $b$ liegt gegenüber dem Winkel $\beta$,
• Seite $c$ liegt gegenüber dem Winkel $\gamma$.

Damit gehören immer zusammen:

$$a\leftrightarrow\alpha,$$ $$b\leftrightarrow\beta,$$ $$c\leftrightarrow\gamma.$$

Merke:
Seite und gegenüberliegender Winkel bilden immer ein Paar.

Diese Zuordnung ist besonders beim Sinussatz entscheidend.

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2. Winkelsumme im Dreieck

Für jedes Dreieck gilt:

$$\boxed{ \alpha+\beta+\gamma=180^\circ }$$

Sind zwei Winkel bekannt, kann der dritte direkt berechnet werden.

Beispiel:

$$\alpha=48^\circ, \qquad \beta=67^\circ.$$

Dann:

$$\begin{aligned} \alpha+\beta+\gamma&=180^\circ\\ 48^\circ+67^\circ+\gamma&=180^\circ &&/-115^\circ\\ \gamma&=65^\circ. \end{aligned}$$

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3. Der Sinussatz

Der Sinussatz lautet:

$$\boxed{ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} }$$

Äquivalent kann man schreiben:

$$\boxed{ \frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\gamma}{c} }$$

Für eine konkrete Rechnung benötigt man meistens nur zwei dieser Brüche.

Zum Beispiel:

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}.$$

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4. Wann ist der Sinussatz besonders geeignet?

Der Sinussatz ist besonders praktisch, wenn bereits ein vollständiges Gegenüber-Paar bekannt ist.

Das bedeutet:

• eine Seite,
• und der gegenüberliegende Winkel.

Zum Beispiel:

$$a=8\,\mathrm{cm}$$

und

$$\alpha=50^\circ.$$

Ist zusätzlich ein weiterer Winkel oder eine weitere Seite gegeben, kann häufig direkt mit dem Sinussatz gerechnet werden.

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5. Seite mit dem Sinussatz berechnen

Gegeben:

$$a=8\,\mathrm{cm},$$ $$\alpha=50^\circ,$$ $$\beta=70^\circ.$$

Gesucht ist $b$.

Wir verwenden:

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}.$$

Einsetzen:

$$\frac{8}{\sin50^\circ} = \frac{b}{\sin70^\circ}.$$

Nach $b$ umformen:

$$\boxed{ b = \frac{8\sin70^\circ}{\sin50^\circ} }$$

Damit:

$$b\approx9{,}81\,\mathrm{cm}.$$

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6. Vorgehensplan: Seite mit dem Sinussatz

1. Gegenüberliegende Paare richtig zuordnen.
2. Ein bekanntes vollständiges Paar auswählen.
3. Den Bruch mit der gesuchten Seite ergänzen.
4. Werte einsetzen.
5. Nach der gesuchten Seite umformen.
6. Einheit und Größenordnung prüfen.

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7. Winkel mit dem Sinussatz berechnen

Gegeben:

$$a=10\,\mathrm{cm},$$ $$b=7\,\mathrm{cm},$$ $$\alpha=80^\circ.$$

Gesucht ist $\beta$.

Wir verwenden:

$$\frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b}.$$

Einsetzen:

$$\frac{\sin80^\circ}{10} = \frac{\sin\beta}{7}.$$

Mit $7$ multiplizieren:

$$\sin\beta = \frac{7\sin80^\circ}{10}.$$

Nun:

$$\beta = \arcsin\left( \frac{7\sin80^\circ}{10} \right).$$

Damit:

$$\boxed{ \beta\approx43{,}6^\circ }$$

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8. Achtung beim Sinussatz: zwei mögliche Winkel

Für Winkel zwischen

$$0^\circ$$

und

$$180^\circ$$

gilt:

$$\sin(\theta) = \sin(180^\circ-\theta).$$

Deshalb kann eine Gleichung wie

$$\sin\beta=0{,}8$$

zwei mögliche Winkel liefern:

$$\beta_1\approx53{,}1^\circ$$

und

$$\beta_2 = 180^\circ-53{,}1^\circ = 126{,}9^\circ.$$

Ob beide Winkel tatsächlich möglich sind, hängt von den übrigen Angaben des Dreiecks ab.

Man muss daher immer prüfen:

$$\alpha+\beta<180^\circ.$$

Wichtig:
Beim Berechnen eines Winkels mit dem Sinussatz kann eine zweite Lösung auftreten.

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9. Der Cosinussatz

Der Cosinussatz verbindet drei Seiten und einen Winkel.

Für die Seite $a$ gilt:

$$\boxed{ a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\alpha }$$

Entsprechend:

$$\boxed{ b^2 = a^2+c^2-2ac\cos\beta }$$

und

$$\boxed{ c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma }$$

Merke:
Der Winkel in der Formel liegt immer gegenüber der alleinstehenden Seite.

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10. Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras

Ist

$$\gamma=90^\circ,$$

dann gilt:

$$\cos90^\circ=0.$$

Der Cosinussatz

$$c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

wird dadurch zu

$$c^2=a^2+b^2.$$

Der Satz des Pythagoras ist also ein Spezialfall des Cosinussatzes.

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11. Seite mit dem Cosinussatz berechnen

Gegeben:

$$a=7\,\mathrm{cm},$$ $$b=9\,\mathrm{cm},$$ $$\gamma=60^\circ.$$

Gesucht ist $c$.

Wir verwenden:

$$c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma.$$

Einsetzen:

$$c^2 = 7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cos60^\circ.$$

Berechnen:

$$c^2 = 49+81-126\cdot0{,}5.$$

Damit:

$$c^2=67.$$

Nun die positive Wurzel:

$$\boxed{ c=\sqrt{67}\approx8{,}19\,\mathrm{cm} }$$

Eine Seitenlänge ist positiv.

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12. Wann ist der Cosinussatz für eine Seite geeignet?

Besonders typisch ist der Fall:

• zwei Seiten sind bekannt,
• der eingeschlossene Winkel ist bekannt.

Zum Beispiel:

$$a,\quad b,\quad \gamma.$$

Dann kann die gegenüberliegende Seite $c$ direkt mit

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

berechnet werden.

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13. Winkel mit dem Cosinussatz berechnen

Gegeben:

$$a=5\,\mathrm{cm},$$ $$b=7\,\mathrm{cm},$$ $$c=8\,\mathrm{cm}.$$

Gesucht ist $\gamma$.

Wir verwenden:

$$c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma.$$

Einsetzen:

$$8^2 = 5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos\gamma.$$

Damit:

$$64 = 25+49-70\cos\gamma.$$

Also:

$$64 = 74-70\cos\gamma.$$

Umformen:

$$\begin{aligned} 64&=74-70\cos\gamma &&/-74\\ -10&=-70\cos\gamma &&/:-70\\ \frac17&=\cos\gamma. \end{aligned}$$

Daher:

$$\gamma = \arccos\left(\frac17\right).$$

Damit:

$$\boxed{ \gamma\approx81{,}8^\circ }$$

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14. Cosinussatz nach dem Winkel umformen

Aus

$$c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

erhält man:

$$2ab\cos\gamma = a^2+b^2-c^2.$$

Damit:

$$\boxed{ \cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} }$$

und schließlich:

$$\boxed{ \gamma = \arccos\left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) }$$

Analog können $\alpha$ und $\beta$ bestimmt werden.

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15. Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks

Sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt, kann der Flächeninhalt ohne Höhe berechnet werden.

Für die Seiten $a$ und $b$ mit eingeschlossenem Winkel $\gamma$ gilt:

$$\boxed{ A = \frac12ab\sin\gamma }$$

Entsprechend:

$$\boxed{ A = \frac12bc\sin\alpha }$$

oder

$$\boxed{ A = \frac12ac\sin\beta }$$

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16. Flächeninhalt berechnen

Gegeben:

$$a=8\,\mathrm{cm},$$ $$b=11\,\mathrm{cm},$$ $$\gamma=35^\circ.$$

Dann:

$$A = \frac12ab\sin\gamma.$$

Einsetzen:

$$A = \frac12 \cdot8 \cdot11 \cdot\sin35^\circ.$$

Damit:

$$\boxed{ A\approx25{,}24\,\mathrm{cm}^2 }$$

Wichtig:
Der verwendete Winkel muss zwischen den beiden verwendeten Seiten liegen.

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17. Welches Verfahren soll ich verwenden?

Die wichtigste Entscheidung ist oft nicht die Rechnung selbst, sondern die Wahl der passenden Formel.

Zwei Winkel und eine Seite bekannt

Zum Beispiel:

$$\alpha,\quad\beta,\quad a.$$

Zuerst:

$$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta.$$

Danach eignet sich der Sinussatz.

Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel bekannt

Zum Beispiel:

$$a,\quad b,\quad\gamma.$$

Zuerst eignet sich der Cosinussatz zur Berechnung von $c$.

Drei Seiten bekannt

Zum Beispiel:

$$a,\quad b,\quad c.$$

Zuerst eignet sich der Cosinussatz, um einen Winkel zu bestimmen.

Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt

Hier kann häufig der Sinussatz eingesetzt werden.

Dabei muss aber auf die mögliche zweite Winkellösung geachtet werden.

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18. Allgemeines Dreieck vollständig lösen

Ein Dreieck vollständig zu lösen bedeutet:

Alle drei Seiten

$$a,\quad b,\quad c$$

und alle drei Winkel

$$\alpha,\quad\beta,\quad\gamma$$

zu bestimmen.

Man verwendet dazu meistens mehrere Schritte.

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19. Vollständiges Beispiel

Gegeben:

$$a=7\,\mathrm{cm},$$ $$b=10\,\mathrm{cm},$$ $$\gamma=50^\circ.$$

Gesucht sind

$$c,\quad\alpha,\quad\beta.$$

Schritt 1: Seite $c$ mit dem Cosinussatz

$$c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma.$$

Einsetzen:

$$c^2 = 7^2+10^2-2\cdot7\cdot10\cos50^\circ.$$

Damit:

$$c^2 \approx 149-89{,}99 = 59{,}01.$$

Also:

$$\boxed{ c\approx7{,}68\,\mathrm{cm} }$$

Schritt 2: Winkel $\alpha$

Nun besitzen wir ein Gegenüber-Paar:

$$c\leftrightarrow\gamma.$$

Wir verwenden den Sinussatz:

$$\frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\gamma}{c}.$$

Einsetzen:

$$\frac{\sin\alpha}{7} = \frac{\sin50^\circ}{7{,}68}.$$

Damit:

$$\sin\alpha = \frac{7\sin50^\circ}{7{,}68}.$$

Also ungefähr:

$$\boxed{ \alpha\approx44{,}3^\circ }$$

Schritt 3: Winkel $\beta$

Mit der Winkelsumme:

$$\begin{aligned} \alpha+\beta+\gamma&=180^\circ\\ 44{,}3^\circ+\beta+50^\circ&=180^\circ &&/-94{,}3^\circ\\ \beta&\approx85{,}7^\circ. \end{aligned}$$

Damit ist das Dreieck vollständig gelöst.

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20. Ergebnis kontrollieren

Nach einer Dreiecksrechnung sind mehrere Kontrollen möglich.

Winkelsumme

Es muss gelten:

$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ.$$

Größte Seite und größter Winkel

Der größten Seite liegt der größte Winkel gegenüber.

Der kleinsten Seite liegt der kleinste Winkel gegenüber.

Dreiecksungleichung

Für drei Seiten eines Dreiecks muss gelten:

$$a+b>c,$$ $$a+c>b,$$ $$b+c>a.$$

Diese Kontrollen helfen, Eingabe- und Rechenfehler zu erkennen.

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21. Sachaufgabe: Entfernung bestimmen

Zwei Beobachtungspunkte $A$ und $B$ liegen

$$120\,\mathrm{m}$$

auseinander.

Zu einem Objekt $C$ werden die Winkel

$$\alpha=55^\circ$$

und

$$\beta=68^\circ$$

gemessen.

Gesucht ist die Entfernung $AC=b$.

Zuerst:

$$\begin{aligned} \alpha+\beta+\gamma&=180^\circ\\ 55^\circ+68^\circ+\gamma&=180^\circ &&/-123^\circ\\ \gamma&=57^\circ. \end{aligned}$$

Die bekannte Seite ist:

$$c=120\,\mathrm{m}.$$

Mit dem Sinussatz:

$$\frac{b}{\sin68^\circ} = \frac{120}{\sin57^\circ}.$$

Damit:

$$b = \frac{120\sin68^\circ}{\sin57^\circ}.$$

Also ungefähr:

$$\boxed{ b\approx132{,}6\,\mathrm{m} }$$

Interpretation:

Das Objekt befindet sich etwa $132{,}6\,\mathrm{m}$ vom Beobachtungspunkt $A$ entfernt.

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22. Ergebnisse im Sachkontext deuten

Eine mathematisch berechnete Zahl ist noch keine vollständige Sachantwort.

Bei einer Seite muss angegeben werden,

• welche reale Entfernung oder Länge sie beschreibt,
• welche Einheit verwendet wird.

Bei einem Winkel muss angegeben werden,

• welcher Winkel gemeint ist,
• was seine Größe in der Situation bedeutet.

Bei einer Fläche muss angegeben werden,

• welche Fläche berechnet wurde,
• und eine passende Flächeneinheit verwendet werden.

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23. Sinnvoll runden

Zwischenergebnisse sollten nicht zu früh stark gerundet werden.

Besser:

1. mit möglichst genauer Taschenrechneranzeige weiterrechnen,
2. erst das Endergebnis passend runden.

Beispiel:

Statt bereits

$$c\approx7{,}7$$

weiterzuverwenden, sollte mit dem genaueren Wert gerechnet werden.

Das reduziert Rundungsfehler.

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24. Gradmaß am Taschenrechner

Bei Aufgaben mit Winkeln in Grad muss der Taschenrechner im Gradmodus stehen.

Typische Anzeige:

DEG

Steht der Rechner versehentlich auf Bogenmaß, entstehen völlig falsche Ergebnisse.

Tipp:
Vor trigonometrischen Rechnungen immer den Winkelmodus kontrollieren.

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25. Typische Fehler beim Sinussatz

Fehler 1: Seite und falschen Winkel kombinieren

Falsch wäre zum Beispiel:

$$\frac{a}{\sin\beta}.$$

Richtig gehört zusammen:

$$\frac{a}{\sin\alpha}.$$

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Fehler 2: Sinussatz ohne vollständiges Paar verwenden

Zum sicheren Aufstellen sollte mindestens ein bekanntes Gegenüber-Paar vorhanden sein.

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Fehler 3: Zweite Winkellösung vergessen

Bei einem mit $\arcsin$ bestimmten Winkel muss geprüft werden, ob

$$180^\circ-\beta$$

ebenfalls möglich ist.

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26. Typische Fehler beim Cosinussatz

Fehler 1: Falschen Winkel einsetzen

In

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

ist $\gamma$ der Winkel zwischen $a$ und $b$.

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Fehler 2: Minuszeichen vergessen

Der Cosinussatz enthält:

$$-2ab\cos\gamma.$$

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Fehler 3: Bei einer Seitenberechnung die Wurzel vergessen

Aus

$$c^2=67$$

folgt:

$$c=\sqrt{67}.$$

Nicht:

$$c=67.$$

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27. Typische Fehler bei der Flächenformel

Die Formel

$$A=\frac12ab\sin\gamma$$

verwendet den Winkel $\gamma$, weil dieser zwischen $a$ und $b$ liegt.

Verwendet man die Seiten $b$ und $c$, muss der eingeschlossene Winkel $\alpha$ verwendet werden:

$$A=\frac12bc\sin\alpha.$$

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28. Entscheidungsstrategie

Vor jeder Rechnung:

1. Gegebene Größen markieren

Welche Seiten und Winkel sind bekannt?

2. Gegenüber-Paare zuordnen

$$a\leftrightarrow\alpha, \qquad b\leftrightarrow\beta, \qquad c\leftrightarrow\gamma.$$

3. Formel auswählen

Sinussatz, wenn ein Gegenüber-Paar verfügbar ist.

Cosinussatz, besonders bei

• drei Seiten,
• oder zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel.

Flächenformel, wenn

• zwei Seiten,
• und der eingeschlossene Winkel

bekannt sind.

4. Rechnen

Formel zuerst symbolisch hinschreiben, danach einsetzen.

5. Kontrollieren

Winkelsumme, Größenordnung, Einheit und Dreiecksgeometrie prüfen.

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29. Zusammenfassung

Sinussatz

$$\boxed{ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} }$$

Cosinussatz

$$\boxed{ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha }$$ $$\boxed{ b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta }$$ $$\boxed{ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma }$$

Flächenformel

$$\boxed{ A=\frac12ab\sin\gamma }$$

beziehungsweise entsprechend mit den anderen Seitenpaaren.

Winkelsumme

$$\boxed{ \alpha+\beta+\gamma=180^\circ }$$

Merke:
Sinussatz: Gegenüber-Paare.
Cosinussatz: drei Seiten oder zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel.
Fläche: zwei Seiten und ihr eingeschlossener Winkel.