Trigonometrische Gleichungen

Kompetenzcode: FA 6.7

Bei einer trigonometrischen Gleichung steht die unbekannte Größe im Argument einer Winkelfunktion.

Zum Beispiel:

$$\sin x=\frac12$$

oder

$$\cos x=-0{,}4.$$

Der entscheidende Unterschied zu vielen anderen Gleichungen ist:

Sinus und Cosinus sind periodisch.

Deshalb besitzen trigonometrische Gleichungen häufig unendlich viele Lösungen.

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1. Periodizität

Für den Sinus gilt:

$$\boxed{ \sin(x+360^\circ)=\sin x }$$

beziehungsweise im Bogenmaß:

$$\boxed{ \sin(x+2\pi)=\sin x. }$$

Für den Cosinus gilt:

$$\boxed{ \cos(x+360^\circ)=\cos x }$$

beziehungsweise:

$$\boxed{ \cos(x+2\pi)=\cos x. }$$

Nach einer vollständigen Umdrehung wiederholen sich die Funktionswerte.

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2. Mehrere Lösungen innerhalb einer Periode

Betrachten wir:

$$\sin x=\frac12.$$

Im Intervall

$$0^\circ\leq x<360^\circ$$

gilt:

$$\sin30^\circ=\frac12$$

und

$$\sin150^\circ=\frac12.$$

Daher besitzt die Gleichung bereits innerhalb einer Periode zwei Lösungen:

$$\boxed{ x=30^\circ }$$

und

$$\boxed{ x=150^\circ. }$$

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3. Winkelmodus am Taschenrechner

Vor dem Rechnen muss der Winkelmodus kontrolliert werden.

Für Winkel im Gradmaß:

$$\boxed{\mathrm{DEG}}$$

Für Winkel im Bogenmaß:

$$\boxed{\mathrm{RAD}}.$$

Ein falscher Winkelmodus führt zu falschen Ergebnissen.

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4. Sinusgleichung lösen

Gegeben:

$$\sin x=0{,}6.$$

Mit der Umkehrfunktion des Sinus:

$$x_1=\arcsin(0{,}6).$$

Im Gradmaß:

$$x_1\approx36{,}87^\circ.$$

Das ist zunächst nur eine Grundlösung.

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5. Zweite Sinuslösung

Für den Sinus erhält man die zweite Lösung innerhalb einer Periode durch:

$$\boxed{ x_2=180^\circ-x_1. }$$

Damit:

$$\begin{aligned} x_2 &=180^\circ-36{,}87^\circ\\ &\approx143{,}13^\circ. \end{aligned}$$

Also:

$$\boxed{ x_1\approx36{,}87^\circ }$$

und

$$\boxed{ x_2\approx143{,}13^\circ. }$$

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6. Periodische Lösung beim Sinus

Wegen der Periodizität entstehen daraus die Lösungsfamilien:

$$\boxed{ x=36{,}87^\circ+360^\circ k }$$

oder

$$\boxed{ x=143{,}13^\circ+360^\circ k }$$

mit

$$\boxed{ k\in\mathbb Z. }$$

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7. Allgemeine Sinusgleichung

Für

$$\sin x=a$$

mit

$$-1\leq a\leq1$$

setzen wir:

$$\alpha=\arcsin(a).$$

Im Gradmaß:

$$\boxed{ x=\alpha+360^\circ k }$$

oder

$$\boxed{ x=180^\circ-\alpha+360^\circ k, \qquad k\in\mathbb Z. }$$

Im Bogenmaß:

$$\boxed{ x=\alpha+2\pi k }$$

oder

$$\boxed{ x=\pi-\alpha+2\pi k, \qquad k\in\mathbb Z. }$$

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8. Negativer Sinuswert

Gegeben:

$$\sin x=-\frac12.$$

Der Taschenrechner liefert:

$$\alpha=-30^\circ.$$

Damit:

$$x=-30^\circ+360^\circ k$$

oder

$$x=210^\circ+360^\circ k.$$

Die erste Familie kann äquivalent geschrieben werden als:

$$x=330^\circ+360^\circ k.$$

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9. Cosinusgleichung lösen

Gegeben:

$$\cos x=0{,}4.$$

Zunächst:

$$x_1=\arccos(0{,}4).$$

Damit:

$$x_1\approx66{,}42^\circ.$$

Die zweite Lösung innerhalb einer Periode lautet:

$$x_2=360^\circ-x_1.$$

Also:

$$x_2\approx293{,}58^\circ.$$

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10. Periodische Lösung beim Cosinus

Damit:

$$\boxed{ x=66{,}42^\circ+360^\circ k }$$

oder

$$\boxed{ x=293{,}58^\circ+360^\circ k, \qquad k\in\mathbb Z. }$$

Kompakt kann auch geschrieben werden:

$$\boxed{ x=\pm66{,}42^\circ+360^\circ k, \qquad k\in\mathbb Z. }$$

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11. Allgemeine Cosinusgleichung

Für

$$\cos x=a$$

setzen wir:

$$\alpha=\arccos(a).$$

Dann gilt im Gradmaß:

$$\boxed{ x=\pm\alpha+360^\circ k, \qquad k\in\mathbb Z. }$$

Im Bogenmaß:

$$\boxed{ x=\pm\alpha+2\pi k, \qquad k\in\mathbb Z. }$$

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12. Keine reelle Lösung

Sinus und Cosinus besitzen nur Funktionswerte zwischen $-1$ und $1$:

$$-1\leq\sin x\leq1$$

und

$$-1\leq\cos x\leq1.$$

Daher besitzt zum Beispiel

$$\sin x=1{,}3$$

keine reelle Lösung.

Ebenso:

$$\cos x=-2.$$

Merke:
Liegt die rechte Seite außerhalb von $[-1,1]$, gibt es keine reelle Lösung.

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13. Sonderfälle

Für

$$\sin x=1$$

gilt:

$$\boxed{ x=90^\circ+360^\circ k. }$$

Für

$$\sin x=-1$$

gilt:

$$\boxed{ x=270^\circ+360^\circ k. }$$

Für

$$\cos x=1$$

gilt:

$$\boxed{ x=360^\circ k. }$$

Für

$$\cos x=-1$$

gilt:

$$\boxed{ x=180^\circ+360^\circ k. }$$

Dabei gilt jeweils:

$$k\in\mathbb Z.$$

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14. Winkelfunktion zuerst isolieren

Gegeben:

$$2\sin x-1=0.$$

Zunächst:

$$\begin{aligned} 2\sin x-1&=0 &&/+1\\ 2\sin x&=1 &&/:2\\ \sin x&=\frac12. \end{aligned}$$

Jetzt kann die Sinusgleichung gelöst werden.

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15. Beispiel $2\sin x-1=0$

Aus

$$\sin x=\frac12$$

folgen:

$$x_1=30^\circ$$

und

$$x_2=150^\circ.$$

Die vollständige Lösung lautet:

$$\boxed{ x=30^\circ+360^\circ k }$$

oder

$$\boxed{ x=150^\circ+360^\circ k, \qquad k\in\mathbb Z. }$$

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16. Beispiel mit Cosinus

Gegeben:

$$3\cos x+1=0.$$

Zunächst:

$$\begin{aligned} 3\cos x+1&=0 &&/-1\\ 3\cos x&=-1 &&/:3\\ \cos x&=-\frac13. \end{aligned}$$

Damit:

$$\alpha= \arccos\left(-\frac13\right) \approx109{,}47^\circ.$$

Die zweite Lösung:

$$360^\circ-109{,}47^\circ = 250{,}53^\circ.$$

Also:

$$\boxed{ x=109{,}47^\circ+360^\circ k }$$

oder

$$\boxed{ x=250{,}53^\circ+360^\circ k, \qquad k\in\mathbb Z. }$$

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17. Wenn im Argument mehr als $x$ steht

Gegeben:

$$\sin(2x)=\frac12.$$

Zunächst betrachten wir:

$$u=2x.$$

Dann:

$$\sin u=\frac12.$$

Für $u$ gilt:

$$u=30^\circ+360^\circ k$$

oder

$$u=150^\circ+360^\circ k.$$

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18. Nach $x$ auflösen

Zurücksetzen:

$$2x=30^\circ+360^\circ k$$

oder

$$2x=150^\circ+360^\circ k.$$

Durch $2$:

$$\boxed{ x=15^\circ+180^\circ k }$$

oder

$$\boxed{ x=75^\circ+180^\circ k, \qquad k\in\mathbb Z. }$$

Wichtig:
Beim Auflösen muss auch der Periodenterm mitdividiert werden.

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19. Verschobenes Argument

Gegeben:

$$\sin(x-20^\circ)=\frac12.$$

Setzen wir:

$$u=x-20^\circ.$$

Dann:

$$u=30^\circ+360^\circ k$$

oder

$$u=150^\circ+360^\circ k.$$

Zurücksetzen:

$$x-20^\circ=30^\circ+360^\circ k$$

oder

$$x-20^\circ=150^\circ+360^\circ k.$$

Damit:

$$\boxed{ x=50^\circ+360^\circ k }$$

oder

$$\boxed{ x=170^\circ+360^\circ k. }$$

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20. Lösungen in einem vorgegebenen Intervall

Nicht immer wird die vollständige periodische Lösungsmenge verlangt.

Beispiel:

$$\sin x=\frac12$$

für

$$0^\circ\leq x<360^\circ.$$

Dann lautet die Lösungsmenge einfach:

$$\boxed{ L=\{30^\circ,150^\circ\}. }$$

Die periodischen Wiederholungen liegen außerhalb des verlangten Intervalls.

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21. Intervall oder vollständige Lösung?

Für

$$\sin x=\frac12$$

ist die vollständige Lösung:

$$x=30^\circ+360^\circ k$$

oder

$$x=150^\circ+360^\circ k, \qquad k\in\mathbb Z.$$

Für

$$0^\circ\leq x<360^\circ$$

ist dagegen:

$$L=\{30^\circ,150^\circ\}.$$

Merke:
Immer zuerst prüfen, welcher Lösungsbereich verlangt wird.

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22. Bogenmaß

Die Vorgehensweise bleibt im Bogenmaß gleich.

Beispiel:

$$\sin x=\frac12.$$

Dann:

$$x=\frac{\pi}{6}$$

oder

$$x=\frac{5\pi}{6}$$

innerhalb einer Grundperiode.

Die vollständige Lösung:

$$\boxed{ x=\frac{\pi}{6}+2\pi k }$$

oder

$$\boxed{ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, \qquad k\in\mathbb Z. }$$

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23. Cosinus im Bogenmaß

Gegeben:

$$\cos x=\frac12.$$

Dann:

$$\boxed{ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k, \qquad k\in\mathbb Z. }$$

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24. Probe

Eine berechnete Lösung kann in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden.

Gegeben:

$$2\sin x-1=0.$$

Prüfen wir:

$$x=30^\circ.$$

Dann:

$$\begin{aligned} 2\sin30^\circ-1 &=2\cdot\frac12-1\\ &=0. \end{aligned}$$

Die Lösung stimmt.

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25. Graphische Bedeutung

Die Gleichung

$$\sin x=0{,}6$$

kann als Schnittproblem betrachtet werden.

Gesucht sind die Schnittpunkte der Graphen

$$y=\sin x$$

und

$$y=0{,}6.$$

Da der Sinusgraph periodisch ist, wiederholen sich diese Schnittpunkte regelmäßig.

Dasselbe Prinzip gilt für den Cosinus.

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26. Typische Fehler

Fehler 1: Nur die Taschenrechnerlösung angeben

$$\arcsin(a)$$

liefert zunächst nur eine Grundlösung.

Die zweite Sinuslösung muss ebenfalls geprüft werden.

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Fehler 2: Periodizität vergessen

Eine einzelne Lösung ist auf ganz $\mathbb R$ meistens nicht vollständig.

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Fehler 3: Zweite Sinuslösung falsch bestimmen

Richtig:

$$\boxed{ 180^\circ-\alpha. }$$

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Fehler 4: Zweite Cosinuslösung falsch bestimmen

Richtig:

$$\boxed{ 360^\circ-\alpha. }$$

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Fehler 5: $k\in\mathbb Z$ vergessen

Eine periodische Lösungsfamilie benötigt:

$$\boxed{ k\in\mathbb Z. }$$

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Fehler 6: Periodenterm nicht umformen

Aus

$$2x=30^\circ+360^\circ k$$

folgt:

$$\boxed{ x=15^\circ+180^\circ k. }$$

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Fehler 7: Grad- und Bogenmaß mischen

Gradmaß:

$$360^\circ.$$

Bogenmaß:

$$2\pi.$$

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Fehler 8: Unmöglichen Funktionswert übersehen

Zum Beispiel:

$$\cos x=1{,}4$$

besitzt keine reelle Lösung.

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27. Vorgehensplan für Sinusgleichungen

1. Sinusterm isolieren.
2. Prüfen, ob die rechte Seite zwischen $-1$ und $1$ liegt.
3. Winkelmodus kontrollieren.
4. Mit $\arcsin$ eine Grundlösung bestimmen.
5. Zweite Lösung bestimmen:

$$180^\circ-\alpha$$

beziehungsweise

$$\pi-\alpha.$$

1. Periodizität ergänzen.
2. Falls im Argument ein Ausdruck wie $bx+c$ steht, beide Lösungsfamilien nach $x$ auflösen.
3. Bei einem vorgegebenen Intervall nur passende Lösungen auswählen.

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28. Vorgehensplan für Cosinusgleichungen

1. Cosinusterm isolieren.
2. Wertebereich prüfen.
3. Mit $\arccos$ eine Grundlösung bestimmen.
4. Zweite Lösung durch

$$360^\circ-\alpha$$

beziehungsweise die Schreibweise

$$\pm\alpha$$

berücksichtigen.
5. Periodizität ergänzen.
6. Argument vollständig nach $x$ auflösen.
7. Gegebenenfalls auf das verlangte Intervall einschränken.

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29. Zusammenfassung

Für

$$\sin x=a$$

mit

$$\alpha=\arcsin(a)$$

gilt im Gradmaß:

$$\boxed{ x=\alpha+360^\circ k }$$

oder

$$\boxed{ x=180^\circ-\alpha+360^\circ k, \qquad k\in\mathbb Z. }$$

Für

$$\cos x=a$$

mit

$$\alpha=\arccos(a)$$

gilt:

$$\boxed{ x=\pm\alpha+360^\circ k, \qquad k\in\mathbb Z. }$$

Im Bogenmaß wird die Periode

$$360^\circ$$

durch

$$2\pi$$

ersetzt.

Merke:
Eine trigonometrische Gleichung ist erst vollständig gelöst, wenn alle Grundlösungen und – sofern verlangt – ihre periodischen Wiederholungen berücksichtigt wurden.