Ähnlichkeit

Kompetenzcode: MG 4.3

Ähnliche Figuren begegnen dir bei Landkarten, Bauplänen, Fotos und Modellen. Eine kleine Zeichnung kann dieselbe Form wie ein großes Bauwerk haben, obwohl ihre Längen ganz anders sind.

In diesem Kapitel lernst du, Ähnlichkeit zu erkennen, passende Seiten zuzuordnen, den Ähnlichkeitsfaktor zu bestimmen und fehlende Längen sicher zu berechnen.

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1. Was bedeutet ähnlich?

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie dieselbe Form haben. Sie dürfen verschieden groß sein und auch gedreht oder gespiegelt erscheinen.

Damit zwei Vielecke ähnlich sind, müssen zwei Bedingungen zusammenpassen:

• Entsprechende Winkel sind gleich groß.
• Entsprechende Seiten stehen alle im selben Verhältnis.

Ein Rechteck mit (4,\mathrm{cm}) Länge und (2,\mathrm{cm}) Breite ist zu einem Rechteck mit (8,\mathrm{cm}) Länge und (4,\mathrm{cm}) Breite ähnlich:

$$\frac{8}{4}=2$$

und

$$\frac{4}{2}=2.$$

Beide entsprechenden Längen wurden mit demselben Faktor verändert.

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2. Ähnlich und kongruent sind nicht dasselbe

Kongruente Figuren sind deckungsgleich. Sie besitzen dieselbe Form und dieselbe Größe. Durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln kann eine Figur genau auf die andere gelegt werden.

Ähnliche Figuren besitzen dieselbe Form, dürfen aber verschieden groß sein.

Kongruente Figuren sind daher ein besonderer Fall ähnlicher Figuren: Ihr Ähnlichkeitsfaktor ist

$$k=1.$$

Bei (k=1) bleiben alle Seitenlängen unverändert.

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3. Entsprechende Winkel und Seiten

Entsprechend bedeutet: Die Teile nehmen in beiden Figuren dieselbe Rolle ein. Zu einem Eckpunkt gehört jener Eckpunkt, dessen Winkel gleich groß ist. Die Seiten zwischen entsprechenden Eckpunkten gehören ebenfalls zusammen.

Für zwei ähnliche Dreiecke kann gelten:

$$A\leftrightarrow A',\qquad B\leftrightarrow B',\qquad C\leftrightarrow C'.$$

Dann gehören auch die Seiten zusammen:

$$a\leftrightarrow a',\qquad b\leftrightarrow b',\qquad c\leftrightarrow c'.$$

Die Reihenfolge ist wichtig. Eine kurze Seite darf nicht zufällig mit einer langen, anders liegenden Seite verglichen werden.

Tipp: Markiere gleiche Winkel mit denselben Farben oder Bogenzeichen. So findest du die entsprechenden Seiten leichter.

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4. Seitenverhältnisse

Bei ähnlichen Figuren ist der Quotient aus neuer und ursprünglicher Länge für jedes entsprechende Seitenpaar gleich:

$$\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}.$$

Dabei müssen alle Brüche dieselbe Richtung haben: oben immer die neue Figur, unten immer die ursprüngliche Figur.

Beispiel: Ähnlichkeit prüfen

Ein Dreieck besitzt die Seiten (3,\mathrm{cm}), (4,\mathrm{cm}) und (5,\mathrm{cm}). Ein zweites Dreieck besitzt die entsprechenden Seiten (6,\mathrm{cm}), (8,\mathrm{cm}) und (10,\mathrm{cm}).

$$\frac{6}{3}=2,\qquad \frac{8}{4}=2,\qquad \frac{10}{5}=2.$$

Alle drei Verhältnisse sind gleich. Stimmen auch die entsprechenden Winkel überein, sind die Dreiecke ähnlich.

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5. Der Ähnlichkeitsfaktor

Der Ähnlichkeitsfaktor (k) beschreibt, wie aus einer ursprünglichen Länge die entsprechende neue Länge entsteht:

$$\boxed{k=\frac{\text{neue Länge}}{\text{ursprüngliche Länge}}}$$

und daher

$$\boxed{\text{neue Länge}=k\cdot\text{ursprüngliche Länge}}.$$

Vergrößerung

Wird eine Seite von (3,\mathrm{cm}) auf (9,\mathrm{cm}) vergrößert, gilt:

$$k=\frac{9}{3}=3.$$

Weil (k>1) ist, handelt es sich um eine Vergrößerung.

Verkleinerung

Wird eine Seite von (10,\mathrm{cm}) auf (4,\mathrm{cm}) verkleinert, gilt:

$$k=\frac{4}{10}=0{,}4.$$

Weil (0<k<1) ist, handelt es sich um eine Verkleinerung.

Merke: (k>1) vergrößert, (0<k<1) verkleinert und (k=1) lässt die Größe unverändert.

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6. Fehlende Seiten mit dem Faktor berechnen

Ein kleines Dreieck hat (a=4,\mathrm{cm}) und (b=6,\mathrm{cm}). Beim ähnlichen großen Dreieck ist (a'=10,\mathrm{cm}). Gesucht ist (b').

Zuerst bestimmen wir den Faktor aus einem vollständigen Seitenpaar:

$$k=\frac{a'}{a}=\frac{10}{4}=2{,}5.$$

Dann übertragen wir ihn auf die entsprechende Seite:

$$b'=k\cdot b$$ $$b'=2{,}5\cdot6$$ $$\boxed{b'=15\,\mathrm{cm}}.$$

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7. Verhältnisgleichungen

Dieselbe Aufgabe kann mit einer Verhältnisgleichung gelöst werden:

$$\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}.$$

Einsetzen:

$$\frac{10}{4}=\frac{b'}{6}.$$

Beide Seiten werden mit (6) multipliziert:

$$\frac{10}{4}=\frac{b'}{6} \qquad /\cdot 6$$ $$15=b'.$$

Eine Verhältnisgleichung ist besonders praktisch, wenn du die zusammengehörenden Seiten bereits sicher zugeordnet hast.

Beispiel mit einer Verkleinerung

Ein Modell ist ähnlich zum Original. Eine (12,\mathrm{m}) lange Strecke des Originals ist im Modell (30,\mathrm{cm}) lang. Eine zweite Strecke ist im Original (8,\mathrm{m}) lang. Vor dem Rechnen bringen wir alle Längen in Zentimeter:

$$12\,\mathrm{m}=1200\,\mathrm{cm},\qquad 8\,\mathrm{m}=800\,\mathrm{cm}.$$ $$k=\frac{30}{1200}=0{,}025.$$ $$0{,}025\cdot800=20.$$

Die zweite Strecke ist im Modell (20,\mathrm{cm}) lang.

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8. Typische Fehler

Falsche Seiten zuordnen

Vergleiche nur Seiten, die dieselbe Rolle besitzen. Eine Drehung der Figur ändert die Zuordnung nicht.

Die Richtung wechseln

Wenn ein Bruch neue Länge durch ursprüngliche Länge lautet, müssen alle weiteren Brüche genauso aufgebaut sein.

Nur gleiche Winkel prüfen

Gleiche Winkel sind wichtig. Bei allgemeinen Figuren muss aber auch das gemeinsame Seitenverhältnis stimmen.

Vergrößerung und Verkleinerung verwechseln

Überlege vor der Rechnung, ob das Ergebnis größer oder kleiner werden muss. Das zeigt dir, ob du multiplizieren oder durch den Faktor teilen musst.

Einheiten mischen

Wandle Längen vor dem Bilden eines Verhältnisses in dieselbe Einheit um.

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9. Kontrollmöglichkeiten

Nach einer Rechnung helfen drei Fragen:

1. Wurden wirklich entsprechende Seiten verglichen?
2. Haben alle Seitenverhältnisse denselben Wert?
3. Passt die Größe des Ergebnisses zu Vergrößerung oder Verkleinerung?

Im ersten Beispiel gilt zur Kontrolle:

$$\frac{10}{4}=2{,}5$$

und

$$\frac{15}{6}=2{,}5.$$

Die Faktoren stimmen überein.

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10. Zusammenfassung

• Ähnliche Figuren haben dieselbe Form, aber nicht unbedingt dieselbe Größe.
• Kongruente Figuren haben dieselbe Form und dieselbe Größe.
• Entsprechende Winkel sind gleich groß.
• Entsprechende Seiten besitzen ein gemeinsames Verhältnis.
• Der Ähnlichkeitsfaktor lautet

$$\boxed{k=\frac{\text{neue Länge}}{\text{ursprüngliche Länge}}}.$$

• Fehlende Längen berechnest du mit dem Faktor oder einer Verhältnisgleichung.
• Eine saubere Zuordnung und eine Kontrolle der Verhältnisse verhindern die meisten Fehler.