Brüche und Dezimalzahlen

Ein Bruch beschreibt einen Anteil oder eine Division.

\frac{a}{b}=a:b, \qquad b\neq0.

Arbeitsweise: Rechenschritte werden so notiert, dass jede Veränderung nachvollziehbar ist. Nach jedem Schritt wird möglichst sofort vereinfacht.

1. Zähler und Nenner

Bei $\frac{3}{5}$ ist $3$ der Zähler und $5$ der Nenner. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wird. Der Zähler gibt an, wie viele Teile gemeint sind.

2. Kürzen und Erweitern

Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert.

\begin{aligned} \frac{18}{24} &= \frac34 && /:6 \end{aligned}

Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.

\begin{aligned} \frac23 &= \frac{10}{15} && /\cdot5 \end{aligned}

Der Wert des Bruchs bleibt gleich.

3. Brüche vergleichen

Gleichnamige Brüche werden über ihre Zähler verglichen.

\frac{3}{8}<\frac{5}{8}.

Ungleichnamige Brüche werden auf einen gemeinsamen Nenner gebracht.

\begin{aligned} \frac23 &= \frac8{12} \\ \frac34 &= \frac9{12} \\ \frac8{12} &< \frac9{12} \\ \frac23 &< \frac34 \end{aligned}

4. Brüche addieren und subtrahieren

Nur gleichnamige Brüche dürfen direkt zusammengezählt werden.

\begin{aligned} \frac27+\frac37 &= \frac57 \end{aligned}

\begin{aligned} \frac13+\frac14 &= \frac4{12}+\frac3{12} \\ &=\frac7{12} \end{aligned}

Typischer Fehler: Zähler und Nenner dürfen bei der Addition nicht getrennt addiert werden.

5. Brüche multiplizieren

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}.

\begin{aligned} \frac34\cdot\frac25 &= \frac6{20} \\ &=\frac3{10} \end{aligned}

Vor dem Multiplizieren kann oft gekürzt werden.

6. Brüche dividieren

Durch einen Bruch dividieren bedeutet, mit seinem Kehrwert zu multiplizieren.

\begin{aligned} \frac35:\frac27 &= \frac35\cdot\frac72 \\ &=\frac{21}{10} \end{aligned}

7. Bruch und Dezimalzahl umwandeln

Ein Bruch wird durch Division in eine Dezimalzahl verwandelt.

\frac{3}{4}=3:4=0{,}75.

Endliche Dezimalzahlen können als Brüche mit Nenner $10$ , $100$ , $1000$ usw. geschrieben werden.

\begin{aligned} 0{,}35 &= \frac{35}{100} \\ &=\frac7{20} \end{aligned}

8. Dezimalzahlen vergleichen und runden

Stellenwerte müssen untereinander stehen.

\begin{array}{r} 12{,}40 \\ +\;3{,}075 \\ \hline \\ 15{,}475 \end{array}

Beim Runden entscheidet die nächste Stelle:

$0$ bis $4$ : abrunden,
$5$ bis $9$ : aufrunden.

8{,}376\approx8{,}38

auf Hundertstel.

9. Typische Fehler

Nenner bei Addition mitaddieren.
Beim Dividieren den Kehrwert des falschen Bruchs bilden.
Komma bei schriftlicher Addition nicht stellenrichtig anordnen.
Zu früh runden und dadurch Folgefehler erzeugen.
Ein negatives Vorzeichen beim Kürzen verlieren.

10. Zusammenfassung

Addieren und Subtrahieren: zuerst gleichnamig machen.
Multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Dividieren: mit dem Kehrwert multiplizieren.
Bruch zu Dezimalzahl: Zähler durch Nenner.
Ergebnisse vollständig kürzen und erst am Ende sinnvoll runden.

Eingabe	Verwendung
`18/24`	gekürzten Bruch kontrollieren
`1/3+1/4`	Bruchaddition kontrollieren
`3/4`	Dezimaldarstellung anzeigen

Brüche und Dezimalzahlen

Brüche und Dezimalzahlen

1. Zähler und Nenner

2. Kürzen und Erweitern

3. Brüche vergleichen

4. Brüche addieren und subtrahieren

5. Brüche multiplizieren

6. Brüche dividieren

7. Bruch und Dezimalzahl umwandeln

8. Dezimalzahlen vergleichen und runden

9. Typische Fehler

10. Zusammenfassung

Zähler und Nenner benennen

Gemeinsamen Teiler suchen

Zähler dividieren

Nenner dividieren

Vollständig kürzen

Wertgleichheit erklären

GeoGebra-Übersicht: Brüche und Dezimalzahlen

Geeignete Eingaben

Vorgehen

Festige das Thema mit passenden Aufgaben.

Mit Dezimalzahl prüfen

Nenner vergleichen

Gemeinsamen Nenner bestimmen

Beide Brüche erweitern

Zähler verrechnen

Nenner beibehalten

Ergebnis kürzen

Größenordnung prüfen

Rechenart erkennen

Bei Division Kehrwert bilden

Vorzeichen bestimmen

Über Kreuz kürzen

Zähler multiplizieren

Nenner multiplizieren

Ergebnis vereinfachen

Darstellungsform bestimmen

Bruch als Division lesen

Division ausführen

Dezimalzahl als Zehnerbruch schreiben

Bruch kürzen

Werte vergleichen

Ergebnis im Kontext deuten

Kommas stellenrichtig anordnen

Rechnung ausführen

Ungefähres Ergebnis schätzen

Rundungsstelle markieren

Nächste Stelle prüfen

Gerundet notieren

Rundungsgenauigkeit angeben