Geradengleichungen in expliziter und impliziter Form

Kompetenzcode: FA 2.7

Lineare Zusammenhänge können in verschiedenen Formen beschrieben werden.

Zwei besonders wichtige Darstellungen einer Geraden sind:

\boxed{y=kx+d}

und

\boxed{Ax+By+C=0}.

Die erste Form heißt explizite Form, die zweite implizite Form.

Lineare spielen außerdem eine wichtige Rolle in wirtschaftlichen Modellen, zum Beispiel bei Kosten, Erlös und Gewinn.

1. Explizite Geradengleichung

Die explizite Form lautet:

\boxed{y=kx+d}.

Dabei ist

k

die und

d

der y-Achsenabschnitt.

Der Punkt

(0|d)

liegt immer auf der Geraden.

2. Bedeutung der Steigung

Die Steigung $k$ gibt an, wie stark sich $y$ verändert, wenn $x$ um eine Einheit wächst.

Es gilt:

\boxed{ k=\frac{\Delta y}{\Delta x} }

Bei

k>0

steigt die Gerade.

Bei

k<0

fällt die Gerade.

Bei

k=0

ist die Gerade waagrecht.

3. Explizite Geradengleichung aus $k$ und $d$

Gegeben seien

k=3

und

d=-2.

Wir setzen direkt in

y=kx+d

ein:

\boxed{ y=3x-2. }

Damit ist die Geradengleichung vollständig angegeben.

4. Beispiel mit negativer Steigung

Gegeben:

k=-\frac12, \qquad d=4.

Dann:

\boxed{ y=-\frac12x+4. }

Die Gerade fällt und schneidet die $y$ -Achse bei

(0|4).

5. Implizite Geradengleichung

Eine lineare in der Form

\boxed{ Ax+By+C=0 }

heißt implizite Geradengleichung.

Dabei dürfen $A$ und $B$ nicht gleichzeitig null sein.

Beispiel:

\boxed{ 2x-3y+6=0. }

6. Warum heißt die Form implizit?

Bei

y=kx+d

steht $y$ bereits allein.

Bei

Ax+By+C=0

ist $y$ im Allgemeinen noch nicht isoliert.

Die Beziehung zwischen $x$ und $y$ ist also durch die Gleichung gegeben, ohne dass $y$ bereits ausdrücklich als Funktion von $x$ angeschrieben ist.

7. Explizite Form in implizite Form umwandeln

Gegeben:

y=2x+5.

Wir bringen alle Terme auf eine Seite:

\begin{aligned} y&=2x+5 &&/-2x-5\\ y-2x-5&=0. \end{aligned}

Damit ist zum Beispiel

\boxed{ -2x+y-5=0 }

eine implizite Form.

Äquivalent ist:

\boxed{ 2x-y+5=0. }

Die gesamte Gleichung wurde dabei nur mit $-1$ multipliziert.

Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.

8. Implizite Form ist nicht eindeutig

Gegeben:

2x-y+5=0.

Multipliziert man die gesamte Gleichung mit $3$ , erhält man:

6x-3y+15=0.

Auch diese Gleichung beschreibt dieselbe Gerade.

Merke:
Äquivalente Vielfache einer impliziten Geradengleichung beschreiben dieselbe Gerade.

9. Implizite in explizite Form umwandeln

Gegeben:

3x+2y-8=0.

Gesucht ist die Form

y=kx+d.

Wir lösen nach $y$ auf:

\begin{aligned} 3x+2y-8&=0 &&/-3x+8\\ 2y&=-3x+8 &&/:2\\ y&=-\frac32x+4. \end{aligned}

Damit:

\boxed{ y=-\frac32x+4. }

Wir können direkt ablesen:

k=-\frac32, \qquad d=4.

10. Wann ist keine explizite Form $y=kx+d$ möglich?

Betrachten wir:

x=3.

In impliziter Form:

x-3=0.

Diese Gerade ist senkrecht zur $x$ -Achse.

Für denselben $x$ -Wert $3$ gibt es unendlich viele $y$ -Werte.

Deshalb kann diese Gerade nicht als Funktion

y=kx+d

geschrieben werden.

Allgemein ist bei

Ax+By+C=0

eine Auflösung nach $y$ nur möglich, wenn

\boxed{B\neq0}.

11. Allgemeine Umrechnung der impliziten Form

Aus

Ax+By+C=0

mit

B\neq0

folgt:

\begin{aligned} Ax+By+C&=0 &&/-Ax-C\\ By&=-Ax-C &&/:B\\ y&=-\frac ABx-\frac CB. \end{aligned}

Daher:

\boxed{ k=-\frac AB }

und

\boxed{ d=-\frac CB. }

12. Geradengleichungen kontrollieren

Nach einer Umformung kann man einen Punkt einsetzen.

Gegeben:

y=2x+1.

Für

x=1

ist

y=3.

Der Punkt

P(1|3)

liegt also auf der Geraden.

Die implizite Form lautet:

2x-y+1=0.

Einsetzen:

2\cdot1-3+1=0.

Die Gleichung stimmt.

Damit beschreiben beide Formen dieselbe Gerade.

13. Lineare Funktionen in wirtschaftlichen Modellen

Lineare Funktionen werden häufig verwendet, um vereinfachte wirtschaftliche Zusammenhänge zu beschreiben.

Typische Größen sind:

Kosten $K(x)$ ,
Erlös $E(x)$ ,
Gewinn $G(x)$ ,
produzierte oder verkaufte Menge $x$ .

Dabei muss immer auf die Bedeutung und Einheit der Größen geachtet werden.

14. Lineare Kostenfunktion

Eine typische lineare Kostenfunktion lautet:

\boxed{ K(x)=K_f+k_vx. }

Dabei sind

K_f

die Fixkosten und

k_v

die variablen Stückkosten.

Die Variable

x

beschreibt die produzierte Menge.

15. Fixkosten

Fixkosten entstehen unabhängig davon, wie viele Einheiten produziert werden.

Bei

x=0

gilt:

K(0)=K_f.

Deshalb kann man die Fixkosten direkt als Funktionswert bei Menge null bestimmen:

\boxed{ K_f=K(0). }

16. Beispiel einer Kostenfunktion

Ein Betrieb hat Fixkosten von

5000\,€

und variable Kosten von

12\,€

pro Stück.

Dann:

\boxed{ K(x)=5000+12x. }

Für $100$ Stück:

\begin{aligned} K(100) &=5000+12\cdot100\\ &=6200. \end{aligned}

Die Gesamtkosten für $100$ Stück betragen also:

\boxed{6200\,€}.

17. Fixkosten aus einer Kostenfunktion bestimmen

Gegeben:

K(x)=8x+2400.

Dann:

K(0)=8\cdot0+2400.

Damit:

\boxed{ K(0)=2400. }

Interpretation:

Auch wenn nichts produziert wird, entstehen Kosten von $2400\,€$ .

18. Variable Stückkosten bestimmen

Gegeben:

K(x)=15x+3000.

Die Steigung beträgt:

\boxed{k=15}.

In diesem Kontext bedeutet sie:

Jede zusätzliche produzierte Einheit erhöht die Gesamtkosten um $15\,€$ .

Damit sind die variablen Stückkosten:

\boxed{ k_v=15\,€/\text{Stück}. }

19. Kostenfunktion aus einem Text aufstellen

Gegeben:

Fixkosten: $1800\,€$ ,
variable Kosten: $7{,}50\,€$ pro Stück.

Dann:

K_f=1800

und

k_v=7{,}5.

Somit:

\boxed{ K(x)=1800+7{,}5x. }

20. Lineare Erlösfunktion

Werden alle Stücke zu einem konstanten Preis $p$ verkauft, gilt:

\boxed{ E(x)=p\cdot x. }

Bei Menge null gibt es keinen Erlös:

E(0)=0.

Deshalb verläuft eine solche lineare Erlösfunktion durch den Ursprung.

21. Beispiel einer Erlösfunktion

Ein Produkt wird für

25\,€

pro Stück verkauft.

Dann:

\boxed{ E(x)=25x. }

Bei $200$ verkauften Stück:

\begin{aligned} E(200) &=25\cdot200\\ &=5000. \end{aligned}

Der Erlös beträgt:

\boxed{ 5000\,€. }

22. Gewinnfunktion

Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Kosten.

Es gilt:

\boxed{ G(x)=E(x)-K(x). }

Ist

G(x)>0,

wird Gewinn erzielt.

Ist

G(x)=0,

liegt eine Gewinnschwelle vor.

Ist

G(x)<0,

entsteht ein Verlust.

23. Gewinnfunktion aufstellen

Gegeben:

E(x)=30x

und

K(x)=12x+3600.

Dann:

\begin{aligned} G(x) &=E(x)-K(x)\\ &=30x-(12x+3600)\\ &=30x-12x-3600\\ &=18x-3600. \end{aligned}

Damit:

\boxed{ G(x)=18x-3600. }

24. Break-even-Punkt

Am Break-even-Punkt sind Erlös und Kosten gleich groß.

Es gilt:

\boxed{ E(x)=K(x). }

Gleichzeitig ist der Gewinn dort null:

\boxed{ G(x)=0. }

Der Break-even-Punkt ist also der Schnittpunkt von Kosten- und Erlösfunktion.

25. Break-even-Menge berechnen

Wir verwenden:

E(x)=30x

und

K(x)=12x+3600.

Am Break-even gilt:

30x=12x+3600.

Umformen:

\begin{aligned} 30x&=12x+3600 &&/-12x\\ 18x&=3600 &&/:18\\ x&=200. \end{aligned}

Damit:

\boxed{ x_{\mathrm{BE}}=200. }

26. Break-even-Umsatz beziehungsweise Kosten

Nun setzen wir

x=200

in eine der beiden Funktionen ein:

E(200)=30\cdot200=6000.

Auch:

K(200)=12\cdot200+3600=6000.

Der Break-even-Punkt lautet damit:

\boxed{ B(200|6000). }

Die erste Koordinate beschreibt die Menge.

Die zweite Koordinate beschreibt sowohl Kosten als auch Erlös an der Gewinnschwelle.

27. Break-even wirtschaftlich interpretieren

Für das Beispiel bedeutet

B(200|6000):

Bei einer Absatzmenge von $200$ Stück sind Kosten und Erlös jeweils $6000\,€$ . Der Gewinn beträgt dort $0\,€$ .

Unterhalb der Gewinnschwelle gilt hier:

E(x)<K(x).

Es entsteht Verlust.

Oberhalb der Gewinnschwelle gilt:

E(x)>K(x).

Es entsteht Gewinn.

28. Break-even über die Gewinnfunktion

Wir hatten:

G(x)=18x-3600.

Für die Gewinnschwelle setzen wir:

G(x)=0.

Also:

18x-3600=0.

Umformen:

\begin{aligned} 18x-3600&=0 &&/+3600\\ 18x&=3600 &&/:18\\ x&=200. \end{aligned}

Wir erhalten dieselbe Break-even-Menge.

29. Allgemeine Formel für ein lineares Wirtschaftsmodell

Seien:

K(x)=K_f+k_vx

und

E(x)=px.

Dann:

\begin{aligned} G(x) &=E(x)-K(x)\\ &=px-(K_f+k_vx)\\ &=(p-k_v)x-K_f. \end{aligned}

Am Break-even gilt:

0=(p-k_v)x-K_f.

Falls

p>k_v,

folgt:

\boxed{ x_{\mathrm{BE}} = \frac{K_f}{p-k_v}. }

30. Wann gibt es in diesem Modell keine positive Gewinnschwelle?

Ist der Stückpreis nicht größer als die variablen Stückkosten, also

p\leq k_v,

dann wächst der Erlös nicht schneller als die Kosten.

Bei positiven Fixkosten kann dann keine positive Produktionsmenge die Fixkosten ausgleichen.

Das zeigt:

Eine rechnerische Formel muss immer auch wirtschaftlich interpretiert werden.

31. Einheiten beachten

Bei einer Kostenfunktion

K(x)=12x+5000

können die Größen beispielsweise bedeuten:

x:\text{ Stück}

K(x):€

12:\frac{€}{\text{Stück}}.

Die Steigung besitzt also eine andere Einheit als der Funktionswert.

Eine gute Interpretation nennt immer die passende Einheit.

32. Ist ein lineares Wirtschaftsmodell realistisch?

Ein lineares Modell ist eine Vereinfachung.

Bei

K(x)=K_f+k_vx

wird zum Beispiel angenommen, dass die variablen Kosten pro Stück konstant bleiben.

Das muss in der Realität nicht für beliebig große Produktionsmengen gelten.

33. Typische Annahmen eines linearen Kostenmodells

Ein einfaches lineares Kostenmodell nimmt an:

Fixkosten bleiben im betrachteten Bereich konstant.
Variable Stückkosten bleiben konstant.
Es treten keine zusätzlichen Kapazitätssprünge auf.
Produktionsbedingungen ändern sich nicht wesentlich.

Diese Annahmen können für einen begrenzten Bereich sinnvoll sein.

Außerhalb dieses Bereichs kann das Modell ungeeignet werden.

34. Typische Annahmen einer linearen Erlösfunktion

Für

E(x)=px

wird angenommen:

der Stückpreis $p$ bleibt konstant,
jede produzierte Menge kann auch verkauft werden,
es gibt keine Rabatte,
der Marktpreis verändert sich nicht mit der Absatzmenge.

Auch diese Annahmen sind nicht immer realistisch.

35. Beispiel zur Modellkritik

Ein Unternehmen verkauft ein Produkt laut Modell dauerhaft um

100\,€

pro Stück.

Die Erlösfunktion lautet:

E(x)=100x.

Für kleine und mittlere Absatzmengen kann dies plausibel sein.

Bei extrem großen Absatzmengen könnten jedoch

Preisnachlässe notwendig werden,
die Nachfrage begrenzt sein,
Lager- oder Vertriebskosten steigen.

Dann ist eine lineare Fortsetzung des Modells möglicherweise nicht mehr angemessen.

36. Geeigneten Modellbereich angeben

Ein Modell kann beispielsweise nur für

0\leq x\leq1000

sinnvoll sein.

Dann dürfen Aussagen für

x=100000

nicht automatisch aus demselben Modell abgeleitet werden.

Merke:
Ein mathematisches Modell gilt nur innerhalb der Voraussetzungen, unter denen es aufgestellt wurde.

37. Vollständiges Wirtschaftsbeispiel

Ein Betrieb hat:

Fixkosten von $4000\,€$ ,
variable Stückkosten von $20\,€$ ,
Verkaufspreis von $45\,€$ .

Kostenfunktion

\boxed{ K(x)=20x+4000. }

Erlösfunktion

\boxed{ E(x)=45x. }

Gewinnfunktion

\begin{aligned} G(x) &=45x-(20x+4000)\\ &=25x-4000. \end{aligned}

Also:

\boxed{ G(x)=25x-4000. }

Break-even-Menge

25x-4000=0.

\begin{aligned} 25x-4000&=0 &&/+4000\\ 25x&=4000 &&/:25\\ x&=160. \end{aligned}

Damit:

\boxed{ x_{\mathrm{BE}}=160. }

Break-even-Wert

E(160)=45\cdot160=7200.

Damit:

\boxed{ B(160|7200). }

Interpretation:

Bei $160$ verkauften Stück sind Kosten und Erlös jeweils $7200\,€$ . Erst bei größeren Mengen erzielt das Unternehmen in diesem linearen Modell einen positiven Gewinn.

38. Typische Fehler bei Geradengleichungen

Fehler 1: $k$ und $d$ vertauschen

y=kx+d

ist $k$ die Steigung und $d$ der Achsenabschnitt.

Fehler 2: Beim Umformen nur einen Term verändern

Äquivalenzumformungen müssen auf die gesamte Gleichung angewendet werden.

Fehler 3: Implizite Form für eindeutig halten

Auch

2x-y+3=0

und

4x-2y+6=0

beschreiben dieselbe Gerade.

Fehler 4: Senkrechte Gerade nach $y$ auflösen wollen

Eine Gerade wie

x=5

besitzt keine Darstellung

y=kx+d.

39. Typische Fehler bei Wirtschaftsmodellen

Fehler 1: Fixkosten mit Stückkosten verwechseln

Fixkosten sind der Wert

K(0).

Variable Stückkosten entsprechen der Steigung.

Fehler 2: Erlös und Gewinn verwechseln

Erlös:

E(x).

Gewinn:

G(x)=E(x)-K(x).

Fehler 3: Kosten minus Erlös rechnen

Gewinn ist:

\boxed{ G=E-K. }

Nicht umgekehrt.

Fehler 4: Break-even nur als Menge angeben

Je nach Aufgabe sollte auch der zugehörige Kosten- beziehungsweise Erlöswert bestimmt werden.

Der vollständige Schnittpunkt hat die Form:

B(x_{\mathrm{BE}}|y_{\mathrm{BE}}).

Fehler 5: Einheit vergessen

Ein Ergebnis

x=200

sollte im Kontext als

200\text{ Stück}

interpretiert werden.

Fehler 6: Lineares Modell unbegrenzt extrapolieren

Nur weil eine Funktion mathematisch für alle reellen Zahlen definiert ist, bedeutet das nicht, dass das Sachmodell für alle diese Werte sinnvoll ist.

40. Vorgehensplan: explizit zu implizit

Gegeben:

y=kx+d.

Alle Terme auf eine Seite bringen.
Gleichung gleich $0$ schreiben.
Bei Bedarf mit einer Zahl multiplizieren, um Brüche zu vermeiden.
Prüfen, ob die Form

Ax+By+C=0

vorliegt.

41. Vorgehensplan: implizit zu explizit

Gegeben:

Ax+By+C=0.

Prüfen:

B\neq0.

Alle Terme ohne $y$ auf die andere Seite bringen.
Durch $B$ dividieren.
In die Form

y=kx+d

bringen.
5. Steigung und Achsenabschnitt ablesen.

42. Vorgehensplan: lineares Wirtschaftsmodell

Bedeutung von $x$ und Einheit festlegen.
Fixkosten bestimmen.
Variable Stückkosten bestimmen.
Kostenfunktion aufstellen:

K(x)=K_f+k_vx.

Stückpreis bestimmen.
Erlösfunktion aufstellen:

E(x)=px.

Gewinnfunktion bilden:

G(x)=E(x)-K(x).

Für Break-even

E(x)=K(x)

oder

G(x)=0

lösen.

Ergebnis mit Menge, Geldbetrag und wirtschaftlicher Bedeutung interpretieren.
Prüfen, ob das lineare Modell im betrachteten Bereich plausibel ist.

43. Zusammenfassung

Explizite Geradengleichung

\boxed{ y=kx+d }

Implizite Geradengleichung

\boxed{ Ax+By+C=0 }

Umrechnung bei $B\neq0$

\boxed{ y=-\frac ABx-\frac CB }

Kosten

\boxed{ K(x)=K_f+k_vx }

Erlös

\boxed{ E(x)=px }

Gewinn

\boxed{ G(x)=E(x)-K(x) }

Break-even

\boxed{ E(x)=K(x) }

beziehungsweise

\boxed{ G(x)=0. }

Merke:
Lineare Gleichungen beschreiben nicht nur Geraden.
Ihre Steigung und ihr Achsenabschnitt können in Sachmodellen eine konkrete wirtschaftliche Bedeutung besitzen.

Geradengleichungen in expliziter und impliziter Form

Geradengleichungen in expliziter und impliziter Form

1. Explizite Geradengleichung

2. Bedeutung der Steigung

3. Explizite Geradengleichung aus kkk und ddd

4. Beispiel mit negativer Steigung

5. Implizite Geradengleichung

6. Warum heißt die Form implizit?

7. Explizite Form in implizite Form umwandeln

8. Implizite Form ist nicht eindeutig

9. Implizite in explizite Form umwandeln

10. Wann ist keine explizite Form y=kx+dy=kx+dy=kx+d möglich?

11. Allgemeine Umrechnung der impliziten Form

12. Geradengleichungen kontrollieren

13. Lineare Funktionen in wirtschaftlichen Modellen

14. Lineare Kostenfunktion

15. Fixkosten

16. Beispiel einer Kostenfunktion

17. Fixkosten aus einer Kostenfunktion bestimmen

18. Variable Stückkosten bestimmen

19. Kostenfunktion aus einem Text aufstellen

20. Lineare Erlösfunktion

21. Beispiel einer Erlösfunktion

22. Gewinnfunktion

23. Gewinnfunktion aufstellen

24. Break-even-Punkt

25. Break-even-Menge berechnen

26. Break-even-Umsatz beziehungsweise Kosten

27. Break-even wirtschaftlich interpretieren

28. Break-even über die Gewinnfunktion

29. Allgemeine Formel für ein lineares Wirtschaftsmodell

30. Wann gibt es in diesem Modell keine positive Gewinnschwelle?

31. Einheiten beachten

32. Ist ein lineares Wirtschaftsmodell realistisch?

33. Typische Annahmen eines linearen Kostenmodells

34. Typische Annahmen einer linearen Erlösfunktion

35. Beispiel zur Modellkritik

36. Geeigneten Modellbereich angeben

37. Vollständiges Wirtschaftsbeispiel

Kostenfunktion

Erlösfunktion

Gewinnfunktion

Break-even-Menge

Break-even-Wert

38. Typische Fehler bei Geradengleichungen

Fehler 1: kkk und ddd vertauschen

Fehler 2: Beim Umformen nur einen Term verändern

Fehler 3: Implizite Form für eindeutig halten

Fehler 4: Senkrechte Gerade nach yyy auflösen wollen

39. Typische Fehler bei Wirtschaftsmodellen

Fehler 1: Fixkosten mit Stückkosten verwechseln

Fehler 2: Erlös und Gewinn verwechseln

Fehler 3: Kosten minus Erlös rechnen

Fehler 4: Break-even nur als Menge angeben

Fehler 5: Einheit vergessen

Fehler 6: Lineares Modell unbegrenzt extrapolieren

40. Vorgehensplan: explizit zu implizit

41. Vorgehensplan: implizit zu explizit

42. Vorgehensplan: lineares Wirtschaftsmodell

43. Zusammenfassung

Explizite Geradengleichung

Implizite Geradengleichung

Umrechnung bei B≠0B\neq0B=0

Kosten

Erlös

Gewinn

Break-even

Steigung erkennen

Achsenabschnitt erkennen

Grundform anschreiben

Werte einsetzen

Geradengleichung kontrollieren

Lineare Terme identifizieren

Festige das Thema mit passenden Aufgaben.

Alle Terme auf eine Seite bringen

Form ordnen

Koeffizienten prüfen

Äquivalente Formen akzeptieren

Explizite Form erkennen

x-Term verschieben

3. Explizite Geradengleichung aus $k$ und $d$

10. Wann ist keine explizite Form $y=kx+d$ möglich?

Fehler 1: $k$ und $d$ vertauschen

Fehler 4: Senkrechte Gerade nach $y$ auflösen wollen

Umrechnung bei $B\neq0$