mit Äquivalenzumformungen lösen

Eine Gleichung behauptet, dass zwei denselben Wert haben. Ziel ist, die allein auf eine Seite zu bringen.

Wichtiges Schreibformat: Die auf beiden Seiten ausgeführte Operation steht nach einem Schrägstrich. Nach jedem Schritt wird sofort vereinfacht.

1. Grundidee der Äquivalenzumformung

Eine Gleichung bleibt gleichwertig, wenn auf beiden Seiten dieselbe zulässige Operation ausgeführt wird.

Einfachstes Beispiel

\begin{aligned} 3x &= 6 && /:3 \\ x &= 2 \end{aligned}

Die Division durch $3$ wird auf beiden Seiten ausgeführt.

2. Addition oder Subtraktion rückgängig machen

\begin{aligned} x+7 &= 12 && /-7 \\ x &= 5 \end{aligned}

\begin{aligned} x-4 &= 9 && /+4 \\ x &= 13 \end{aligned}

3. Mehrere Schritte

\begin{aligned} 4x+7 &= 19 && /-7 \\ 4x &= 12 && /:4 \\ x &= 3 \end{aligned}

Jede Zeile ist bereits vereinfacht. Es wird nicht gleichzeitig $-7$ und $:4$ notiert.

Mit negativem Koeffizienten

\begin{aligned} -3x+5 &= 17 && /-5 \\ -3x &= 12 && /:(-3) \\ x &= -4 \end{aligned}

4. Variable auf beiden Seiten

\begin{aligned} 5x+2 &= 2x+14 && /-2x \\ 3x+2 &= 14 && /-2 \\ 3x &= 12 && /:3 \\ x &= 4 \end{aligned}

Man kann auch anders beginnen. Wichtig ist, dass die Variable sinnvoll auf einer Seite gesammelt wird.

5. Klammern zuerst vereinfachen

\begin{aligned} 3(x+2) &= 18 \\ 3x+6 &= 18 && /-6 \\ 3x &= 12 && /:3 \\ x &= 4 \end{aligned}

Bei einer Klammer kann manchmal auch zuerst dividiert werden:

\begin{aligned} 3(x+2) &= 18 && /:3 \\ x+2 &= 6 && /-2 \\ x &= 4 \end{aligned}

Der zweite Weg ist hier kürzer.

6. Bruchgleichung im einfachen Fall

\begin{aligned} \frac{x}{5}+2 &= 8 && /-2 \\ \frac{x}{5} &= 6 && /\cdot5 \\ x &= 30 \end{aligned}

7. Probe

Für die Lösung $x=3$ der Gleichung $4x+7=19$ :

\begin{aligned} \text{Linke Seite: }4\cdot3+7 &= 12+7=19 \\ \text{Rechte Seite: }&19 \\ 19&=19 \end{aligned}

Die Lösung stimmt.

8. Sonderfälle

Keine Lösung

\begin{aligned} 2x+3 &= 2x+7 && /-2x \\ 3&=7 \end{aligned}

Die falsche Aussage zeigt: Es gibt keine Lösung.

Unendlich viele Lösungen

\begin{aligned} 2(x+3) &= 2x+6 \\ 2x+6 &= 2x+6 && /-2x \\ 6&=6 \end{aligned}

Die wahre Aussage gilt für alle zulässigen Werte.

9. Typische Fehler

Operation nur auf einer Seite ausführen.
Das Zeichen nach dem Schrägstrich nicht tatsächlich anwenden.
Mehrere Schritte in einer Zeile vermischen.
Durch null dividieren.
Nach einem Schritt nicht vereinfachen.
Keine Probe machen.

10. Zusammenfassung

\text{vereinfachen}\;\longrightarrow\;\text{passende Gegenoperation }/\ldots\;\longrightarrow\;\text{vereinfachen}\;\longrightarrow\;\text{wiederholen}\;\longrightarrow\;\text{Probe}

Merksatz: Auf beiden Seiten dasselbe tun und nach jedem Schritt vollständig vereinfachen.

Eingabe	Verwendung
`Löse(3x=6)`	einfache Gleichung kontrollieren
`Löse(4x+7=19)`	mehrstufige Gleichung kontrollieren
`Löse(5x+2=2x+14)`	auf beiden Seiten kontrollieren

Eingabe

Verwendung

Löse(3x=6)

einfache Gleichung kontrollieren

Löse(4x+7=19)

mehrstufige Gleichung kontrollieren

Löse(5x+2=2x+14)

auf beiden Seiten kontrollieren

Gleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen

Gleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen

1. Grundidee der Äquivalenzumformung

Einfachstes Beispiel

2. Addition oder Subtraktion rückgängig machen

3. Mehrere Schritte

Mit negativem Koeffizienten

4. Variable auf beiden Seiten

5. Klammern zuerst vereinfachen

6. Bruchgleichung im einfachen Fall

7. Probe

8. Sonderfälle

Keine Lösung

Unendlich viele Lösungen

9. Typische Fehler

10. Zusammenfassung

Variable und Koeffizient erkennen

Gegenoperation wählen

Operation nach dem Schrägstrich notieren

Auf beiden Seiten ausführen

Zeile vereinfachen

Variable allein notieren

GeoGebra-Übersicht: Lineare Gleichungen kontrollieren

Geeignete Eingaben

Vorgehen

Festige das Thema mit passenden Aufgaben.

Probe durchführen

Beide Seiten vereinfachen

Konstante bei der Variable entfernen

Nach Schrägstrich vereinfachen

Koeffizienten entfernen

Lösung notieren

Linke Seite prüfen

Rechte Seite vergleichen

Variablenterme markieren

Geeignete Seite wählen

Variablenterm subtrahieren

Konstanten entfernen

Durch Koeffizienten dividieren

Lösung notieren

Probe durchführen

Klammer oder Bruchstruktur erkennen

Günstigen ersten Schritt wählen

Eine Operation notieren

Vereinfachen

Weiter isolieren

Lösung bestimmen

Ausgangsgleichung prüfen

Gleichung umformen

Variablen sammeln

Entstehende Aussage prüfen

Lösung bei x=... erkennen

Widerspruch als keine Lösung deuten

Wahre Aussage als alle Werte deuten

Lösungsmenge notieren

mit Äquivalenzumformungen lösen

GeoGebra-Übersicht: Lineare kontrollieren