Logarithmen und Logarithmengesetze

Kompetenzcode: MG 1.7

Logarithmen wirken am Anfang oft wie eine völlig neue Rechenart.

Eigentlich steckt aber eine bekannte Frage dahinter:

Mit welchem Exponenten muss ich eine Basis potenzieren, damit eine bestimmte Zahl entsteht?

Zum Beispiel wissen wir:

$$2^3=8.$$

Die umgekehrte Frage lautet:

Mit welchem Exponenten muss $2$ potenziert werden, damit $8$ entsteht?

Die Antwort ist $3$.

Genau das schreibt man mit einem Logarithmus:

$$\log_2(8)=3.$$

In diesem Kapitel lernst du,

• was ein Logarithmus bedeutet,
• wie Potenz- und Logarithmusschreibweise zusammenhängen,
• wie die Produktregel funktioniert,
• wie die Quotientenregel funktioniert,
• wie die Potenzregel funktioniert,
• wie diese Regeln aus den Potenzgesetzen entstehen.

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1. Der Logarithmus als Umkehroperation

Potenzieren und Logarithmieren sind Umkehroperationen.

Aus

$$2^5=32$$

folgt

$$\log_2(32)=5.$$

Beide Aussagen bedeuten genau dasselbe.

Allgemein gilt:

$$a^x=b \quad\Longleftrightarrow\quad \log_a(b)=x.$$

Dabei ist

• $a$ die Basis,
• $b$ das Argument des Logarithmus,
• $x$ der gesuchte Exponent.

Merke:
Ein Logarithmus liefert einen Exponenten.

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2. Beispiele zur Bedeutung

Beispiel 1

$$10^3=1000.$$

Daher:

$$\log_{10}(1000)=3.$$

Beispiel 2

$$3^4=81.$$

Daher:

$$\log_3(81)=4.$$

Beispiel 3

$$5^0=1.$$

Daher:

$$\log_5(1)=0.$$

Beispiel 4

$$2^{-3}=\frac{1}{8}.$$

Daher:

$$\log_2\left(\frac18\right)=-3.$$

Auch negative Logarithmuswerte sind also möglich.

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3. Vom Logarithmus zur Potenz

Gegeben ist

$$\log_4(64)=3.$$

Die entsprechende Potenz lautet

$$4^3=64.$$

Gegeben ist

$$\log_2(16)=4.$$

Die entsprechende Potenz lautet

$$2^4=16.$$

Ein hilfreiches Schema ist:

$$\boxed{\log_a(b)=x}$$

bedeutet

$$\boxed{a^x=b}.$$

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4. Wann ist ein Logarithmus definiert?

Für reelle Logarithmen gelten wichtige Bedingungen.

Die Basis muss erfüllen:

$$a>0$$

und

$$a\neq1.$$

Das Argument muss positiv sein:

$$b>0.$$

Darum sind beispielsweise

$$\log_2(8)$$

und

$$\log_{10}(0{,}01)$$

definiert.

Dagegen ist

$$\log_2(-8)$$

im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert.

Auch

$$\log_2(0)$$

ist nicht definiert.

Merke:
Im Logarithmus muss das Argument positiv sein.

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5. Die drei wichtigsten Logarithmengesetze

Für positive $x$ und $y$ gelten:

Produktregel

$$\boxed{ \log_a(xy) = \log_a(x)+\log_a(y) }$$

Quotientenregel

$$\boxed{ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x)-\log_a(y) }$$

Potenzregel

$$\boxed{ \log_a(x^r) = r\cdot\log_a(x) }$$

Diese Regeln hängen direkt mit den Potenzgesetzen zusammen.

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6. Produktregel

Die Produktregel lautet:

$$\log_a(xy) = \log_a(x)+\log_a(y).$$

Ein Produkt im Logarithmus wird also zu einer Summe von Logarithmen.

Beispiel

$$\log_2(4\cdot8).$$

Mit der Produktregel:

$$\log_2(4\cdot8) = \log_2(4)+\log_2(8).$$

Nun gilt

$$\log_2(4)=2$$

und

$$\log_2(8)=3.$$

Daher:

$$\log_2(32) = 2+3 = 5.$$

Kontrolle:

$$2^5=32.$$

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7. Produktregel zum Aufteilen verwenden

Betrachten wir

$$\log_a(xy).$$

Wir dürfen schreiben:

$$\log_a(xy) = \log_a(x)+\log_a(y).$$

Bei drei Faktoren funktioniert dieselbe Idee schrittweise:

$$\log_a(xyz) = \log_a(x)+\log_a(y)+\log_a(z).$$

Beispiel

$$\log_{10}(2\cdot5).$$

Dann:

$$\begin{aligned} \log_{10}(2\cdot5) &= \log_{10}(2)+\log_{10}(5)\\ &= \log_{10}(10)\\ &=1. \end{aligned}$$

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8. Produktregel rückwärts

Die Regel funktioniert auch in die andere Richtung.

Aus

$$\log_a(x)+\log_a(y)$$

wird

$$\log_a(xy).$$

Zum Beispiel:

$$\log_2(4)+\log_2(8) = \log_2(32) = 5.$$

Wichtig:
Nur Logarithmen mit derselben Basis dürfen auf diese Weise zusammengefasst werden.

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9. Quotientenregel

Die Quotientenregel lautet:

$$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x)-\log_a(y).$$

Ein Quotient im Logarithmus wird also zu einer Differenz.

Beispiel

$$\log_2\left(\frac{32}{4}\right).$$

Mit der Quotientenregel:

$$\log_2\left(\frac{32}{4}\right) = \log_2(32)-\log_2(4).$$

Nun:

$$\log_2(32)=5$$

und

$$\log_2(4)=2.$$

Also:

$$5-2=3.$$

Tatsächlich:

$$\log_2(8)=3.$$

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10. Quotientenregel rückwärts

Auch die Quotientenregel kann rückwärts verwendet werden.

Aus

$$\log_a(x)-\log_a(y)$$

wird

$$\log_a\left(\frac{x}{y}\right).$$

Zum Beispiel:

$$\log_3(81)-\log_3(9) = \log_3\left(\frac{81}{9}\right) = \log_3(9) = 2.$$

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11. Potenzregel

Die Potenzregel lautet:

$$\log_a(x^r) = r\cdot\log_a(x).$$

Ein Exponent im Argument des Logarithmus darf also vor den Logarithmus geschrieben werden.

Beispiel 1

$$\log_2(8^2).$$

Mit der Potenzregel:

$$\log_2(8^2) = 2\log_2(8).$$

Da

$$\log_2(8)=3,$$

gilt:

$$2\cdot3=6.$$

Kontrolle:

$$8^2=64$$

und

$$\log_2(64)=6.$$

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12. Potenzregel mit Variablen

Gegeben ist

$$\log_a(x^5).$$

Dann:

$$\log_a(x^5) = 5\log_a(x).$$

Umgekehrt gilt:

$$5\log_a(x) = \log_a(x^5).$$

Beispiel

$$3\log_2(4).$$

Mit der Potenzregel rückwärts:

$$3\log_2(4) = \log_2(4^3) = \log_2(64) = 6.$$

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13. Mehrere Regeln kombinieren

Betrachten wir

$$\log_a\left(\frac{x^2y}{z}\right).$$

Wir arbeiten schrittweise.

Zuerst die Quotientenregel:

$$\log_a\left(\frac{x^2y}{z}\right) = \log_a(x^2y)-\log_a(z).$$

Dann die Produktregel:

$$\log_a(x^2y) = \log_a(x^2)+\log_a(y).$$

Dann die Potenzregel:

$$\log_a(x^2) = 2\log_a(x).$$

Damit erhalten wir:

$$\boxed{ \log_a\left(\frac{x^2y}{z}\right) = 2\log_a(x)+\log_a(y)-\log_a(z) }$$

Tipp:
Arbeite von außen nach innen:
zuerst Bruch, dann Produkt, dann Potenz.

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14. Mehrere Logarithmen zusammenfassen

Nun gehen wir rückwärts.

Gegeben ist

$$2\log_a(x)+\log_a(y)-\log_a(z).$$

Zuerst verwenden wir die Potenzregel rückwärts:

$$2\log_a(x) = \log_a(x^2).$$

Damit:

$$\log_a(x^2)+\log_a(y)-\log_a(z).$$

Mit der Produktregel:

$$\log_a(x^2y)-\log_a(z).$$

Mit der Quotientenregel:

$$\boxed{ \log_a\left(\frac{x^2y}{z}\right) }$$

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15. Warum gilt die Produktregel?

Jetzt begründen wir die Produktregel aus den Potenzgesetzen.

Wir setzen

$$p=\log_a(x)$$

und

$$q=\log_a(y).$$

Nach der Bedeutung des Logarithmus gilt dann:

$$x=a^p$$

und

$$y=a^q.$$

Multiplizieren wir $x$ und $y$:

$$xy=a^p\cdot a^q.$$

Aus dem Potenzgesetz folgt:

$$a^p\cdot a^q=a^{p+q}.$$

Daher:

$$xy=a^{p+q}.$$

Wenn

$$xy=a^{p+q},$$

dann bedeutet das in Logarithmusschreibweise:

$$\log_a(xy)=p+q.$$

Da

$$p=\log_a(x)$$

und

$$q=\log_a(y),$$

erhalten wir:

$$\boxed{ \log_a(xy) = \log_a(x)+\log_a(y) }$$

Damit ist die Produktregel aus dem Potenzgesetz erklärt.

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16. Warum gilt die Quotientenregel?

Auch hier beginnen wir mit

$$x=a^p$$

und

$$y=a^q.$$

Dann:

$$\frac{x}{y} = \frac{a^p}{a^q}.$$

Aus dem Potenzgesetz folgt:

$$\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}.$$

Also:

$$\frac{x}{y} = a^{p-q}.$$

Daher:

$$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = p-q.$$

Mit

$$p=\log_a(x)$$

und

$$q=\log_a(y)$$

folgt:

$$\boxed{ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x)-\log_a(y) }$$

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17. Warum gilt die Potenzregel?

Wir setzen

$$p=\log_a(x).$$

Dann gilt:

$$x=a^p.$$

Nun potenzieren wir mit $r$:

$$x^r = (a^p)^r.$$

Mit dem Potenzgesetz

$$(a^p)^r=a^{pr}$$

folgt:

$$x^r=a^{pr}.$$

Daher:

$$\log_a(x^r)=pr.$$

Da

$$p=\log_a(x),$$

erhalten wir:

$$\boxed{ \log_a(x^r) = r\log_a(x) }$$

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18. Was darf man NICHT machen?

Die Logarithmengesetze gelten für Produkte, Quotienten und Potenzen.

Sie gelten nicht einfach für Summen oder Differenzen.

Falsch wäre:

$$\log_a(x+y) = \log_a(x)+\log_a(y).$$

Das ist keine Logarithmusregel.

Ein Zahlenbeispiel zeigt den Fehler:

$$\log_{10}(10+90) = \log_{10}(100) = 2.$$

Dagegen:

$$\log_{10}(10)+\log_{10}(90)$$

ist nicht gleich $2$.

Ebenso falsch ist:

$$\log_a(x-y) = \log_a(x)-\log_a(y).$$

Die Quotientenregel gilt nur für einen Bruch:

$$\log_a\left(\frac{x}{y}\right).$$

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19. Häufige Fehler

Fehler 1: Logarithmus und Potenz nicht als Umkehroperationen erkennen

Aus

$$3^4=81$$

folgt

$$\log_3(81)=4.$$

Nicht:

$$\log_4(81)=3.$$

Fehler 2: Produktregel mit Addition verwechseln

Richtig:

$$\log_a(xy) = \log_a(x)+\log_a(y).$$

Nicht:

$$\log_a(x+y) = \log_a(x)+\log_a(y).$$

Fehler 3: Quotientenregel falsch herum

Richtig:

$$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x)-\log_a(y).$$

Die Reihenfolge von Zähler und Nenner bestimmt die Reihenfolge der Differenz.

Fehler 4: Exponenten im Logarithmus stehen lassen

Bei

$$\log_a(x^4)$$

kann die Potenzregel verwendet werden:

$$\log_a(x^4) = 4\log_a(x).$$

Fehler 5: Negative oder null als Argument verwenden

Im Bereich der reellen Zahlen sind

$$\log_a(0)$$

und

$$\log_a(-5)$$

nicht definiert.

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20. Rechenstrategie

Wenn du einen einzelnen Logarithmus aufteilen sollst:

1. Prüfe zuerst die Definitionsbedingungen.
2. Suche von außen nach innen nach einem Quotienten.
3. Suche danach nach Produkten.
4. Ziehe Exponenten mit der Potenzregel vor den Logarithmus.
5. Vereinfache erst danach weiter.

Wenn du mehrere Logarithmen zusammenfassen sollst:

1. Schreibe Faktoren vor Logarithmen mit der Potenzregel als Exponenten.
2. Fasse Summen von Logarithmen zu Produkten zusammen.
3. Fasse Differenzen von Logarithmen zu Quotienten zusammen.
4. Prüfe am Ende die Definitionsbedingungen.

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21. Zusammenfassung

Bedeutung

$$\boxed{ a^x=b \quad\Longleftrightarrow\quad \log_a(b)=x }$$

Produktregel

$$\boxed{ \log_a(xy) = \log_a(x)+\log_a(y) }$$

Quotientenregel

$$\boxed{ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x)-\log_a(y) }$$

Potenzregel

$$\boxed{ \log_a(x^r) = r\log_a(x) }$$

Bedingungen

$$a>0,\qquad a\neq1,$$

und jedes Argument eines reellen Logarithmus muss positiv sein.

Merke:
Produkt wird Summe.
Quotient wird Differenz.
Exponent wird Faktor.