Zahlendarstellungen und Zahlensysteme

Kompetenzcode: MG 1.6

Eine Zahl kann auf unterschiedliche Arten dargestellt werden.

Zum Beispiel bedeuten

$$13, \qquad 1101_2, \qquad 1{,}3\cdot10^1$$

nicht drei verschiedene Zahlen.

Alle drei Darstellungen können denselben Zahlenwert beschreiben.

In diesem Kapitel lernst du,

• wie Stellenwertsysteme aufgebaut sind,
• wie du Zahlen in einem Stellenwertsystem liest,
• wie du Zahlen zwischen verschiedenen Zahlensystemen umwandelst,
• wie Festkomma- und Gleitkommadarstellung zusammenhängen,
• wie du mit Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise rechnest.

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1. Das Stellenwertprinzip

Unser gewohntes Dezimalsystem hat die Basis

$$10.$$

Es stehen zehn Ziffern zur Verfügung:

$$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.$$

Der Wert einer Ziffer hängt davon ab, an welcher Stelle sie steht.

Betrachte

$$4732.$$

Die Zahl bedeutet

$$4\cdot10^3 + 7\cdot10^2 + 3\cdot10^1 + 2\cdot10^0.$$

Also

$$4000+700+30+2=4732.$$

Jede Stelle entspricht einer Potenz der Basis.

Merke:
In einem Stellenwertsystem mit Basis $b$ entspricht jede Stelle einer Potenz von $b$.

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2. Andere Zahlensysteme

Das Stellenwertprinzip funktioniert nicht nur mit der Basis $10$.

Ein wichtiges Beispiel ist das Binärsystem.

Es hat die Basis

$$2.$$

Darum gibt es nur zwei Ziffern:

$$0 \quad\text{und}\quad 1.$$

Die Stellenwerte sind

$$\ldots,2^4,2^3,2^2,2^1,2^0.$$

Das sind

$$\ldots,16,8,4,2,1.$$

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3. Eine Binärzahl interpretieren

Betrachten wir

$$1011_2.$$

Der Index $2$ zeigt, dass die Zahl im Binärsystem geschrieben ist.

Wir zerlegen sie nach Stellenwerten:

$$1011_2 = 1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 1\cdot2^0.$$

Nun berechnen wir die Potenzen:

$$1011_2 = 1\cdot8 + 0\cdot4 + 1\cdot2 + 1\cdot1.$$

Daraus folgt

$$1011_2=11_{10}.$$

Tipp:
Beginne rechts immer mit dem Stellenwert $b^0=1$.

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4. Welche Ziffern sind erlaubt?

Bei einer Basis $b$ dürfen nur Ziffern verwendet werden, die kleiner als $b$ sind.

Im Binärsystem sind daher nur

$$0,\;1$$

erlaubt.

Die Schreibweise

$$102_2$$

ist nicht möglich, weil die Ziffer $2$ im Binärsystem nicht vorkommt.

Im Dezimalsystem sind die Ziffern

$$0\text{ bis }9$$

erlaubt.

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5. Vom Binärsystem ins Dezimalsystem

Betrachten wir

$$11010_2.$$

Wir schreiben die Stellenwerte darunter:

$$\begin{aligned} 11010_2 &= 1\cdot2^4 + 1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 0\cdot2^0\\ &= 16+8+0+2+0\\ &=26. \end{aligned}$$

Damit gilt

$$11010_2=26_{10}.$$

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6. Vom Dezimalsystem ins Binärsystem

Nun soll die Dezimalzahl

$$13$$

binär dargestellt werden.

Wir suchen passende Zweierpotenzen:

$$13=8+4+1.$$

Also benötigen wir

$$2^3,\quad2^2,\quad2^0.$$

Der Stellenwert $2^1$ wird nicht benötigt.

Damit erhalten wir

$$13_{10}=1101_2.$$

Kontrolle:

$$1\cdot8+1\cdot4+0\cdot2+1\cdot1=13.$$

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7. Ein allgemeines Vorgehen beim Umwandeln

Wenn du eine Zahl aus einem Stellenwertsystem ins Dezimalsystem umwandelst:

1. Bestimme die Basis.
2. Ordne jeder Stelle die passende Potenz der Basis zu.
3. Multipliziere jede Ziffer mit ihrem Stellenwert.
4. Addiere die erhaltenen Werte.

Wenn du vom Dezimalsystem in ein anderes Stellenwertsystem wechselst:

1. Suche passende Potenzen der neuen Basis.
2. Bestimme, welche Stellen benötigt werden.
3. Trage die zugehörigen Ziffern ein.
4. Führe eine Kontrolle durch.

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8. Festkommadarstellung und Gleitkommadarstellung

Eine gewöhnliche Dezimalschreibweise wie

$$483000$$

nennt man hier Festkommadarstellung.

Sehr große oder sehr kleine Zahlen lassen sich oft übersichtlicher mit einer Zehnerpotenz schreiben.

Zum Beispiel:

$$483000 = 4{,}83\cdot10^5.$$

Diese Form nennt man wissenschaftliche Schreibweise oder Gleitkommadarstellung.

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9. Normierte wissenschaftliche Schreibweise

Bei der normierten wissenschaftlichen Schreibweise gilt

$$a\cdot10^n$$

mit

$$1\leq |a|<10.$$

Die Zahl vor der Zehnerpotenz besitzt also genau eine von null verschiedene Ziffer vor dem Komma.

Beispiele:

$$62000 = 6{,}2\cdot10^4$$

und

$$0{,}0047 = 4{,}7\cdot10^{-3}.$$

Nicht normiert wäre zum Beispiel

$$47\cdot10^{-4}.$$

Normiert lautet dieselbe Zahl

$$4{,}7\cdot10^{-3}.$$

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10. Festkomma in Gleitkomma umwandeln

Beispiel 1: große Zahl

Gegeben ist

$$7350000.$$

Wir verschieben das Komma so weit nach links, bis nur noch eine von null verschiedene Ziffer davor steht:

$$7350000 \rightarrow 7{,}35.$$

Das Komma wurde sechs Stellen verschoben.

Daher

$$7350000 = 7{,}35\cdot10^6.$$

Beispiel 2: kleine Zahl

Gegeben ist

$$0{,}00082.$$

Wir verschieben das Komma nach rechts:

$$0{,}00082 \rightarrow 8{,}2.$$

Das Komma wurde vier Stellen nach rechts verschoben.

Daher ist der Exponent negativ:

$$0{,}00082 = 8{,}2\cdot10^{-4}.$$

Merke:
Große Zahl $\rightarrow$ meist positiver Exponent.
Kleine Zahl zwischen $0$ und $1$ $\rightarrow$ negativer Exponent.

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11. Gleitkomma in Festkomma umwandeln

Bei

$$3{,}6\cdot10^4$$

verschieben wir das Komma vier Stellen nach rechts:

$$3{,}6 \rightarrow 36000.$$

Also

$$3{,}6\cdot10^4=36000.$$

Bei

$$5{,}2\cdot10^{-3}$$

verschieben wir das Komma drei Stellen nach links:

$$5{,}2 \rightarrow 0{,}0052.$$

Also

$$5{,}2\cdot10^{-3}=0{,}0052.$$

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12. Gleitkommazahlen addieren

Beim Addieren müssen zuerst die Zehnerpotenzen gleich sein.

Betrachten wir

$$3{,}2\cdot10^5 + 4{,}7\cdot10^4.$$

Wir schreiben den zweiten Summanden mit $10^5$:

$$4{,}7\cdot10^4 = 0{,}47\cdot10^5.$$

Damit:

$$\begin{aligned} 3{,}2\cdot10^5+4{,}7\cdot10^4 &= 3{,}2\cdot10^5+0{,}47\cdot10^5\\ &= (3{,}2+0{,}47)\cdot10^5\\ &= 3{,}67\cdot10^5. \end{aligned}$$

Wichtig:
Die Exponenten dürfen beim Addieren nicht einfach addiert werden.

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13. Gleitkommazahlen subtrahieren

Auch beim Subtrahieren gleichen wir zuerst die Zehnerpotenzen an.

$$6{,}1\cdot10^4 - 2{,}5\cdot10^3$$

wird zu

$$6{,}1\cdot10^4 - 0{,}25\cdot10^4.$$

Dann:

$$\begin{aligned} 6{,}1\cdot10^4-0{,}25\cdot10^4 &= (6{,}1-0{,}25)\cdot10^4\\ &= 5{,}85\cdot10^4. \end{aligned}$$

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14. Gleitkommazahlen multiplizieren

Beim Multiplizieren werden

1. die Zahlenfaktoren multipliziert,
2. die Zehnerpotenzen multipliziert.

Beispiel:

$$(3\cdot10^4)\cdot(2\cdot10^3).$$

Zuerst die Zahlenfaktoren:

$$3\cdot2=6.$$

Dann die Zehnerpotenzen:

$$10^4\cdot10^3=10^7.$$

Also

$$(3\cdot10^4)\cdot(2\cdot10^3) = 6\cdot10^7.$$

Ein zweites Beispiel:

$$(4{,}2\cdot10^3)\cdot(3\cdot10^2) = 12{,}6\cdot10^5.$$

Dieses Ergebnis ist noch nicht normiert:

$$12{,}6\cdot10^5 = 1{,}26\cdot10^6.$$

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15. Gleitkommazahlen dividieren

Beim Dividieren werden

1. die Zahlenfaktoren dividiert,
2. die Zehnerpotenzen dividiert.

Beispiel:

$$\frac{8{,}4\cdot10^6}{2{,}1\cdot10^2}.$$

Für die Zahlenfaktoren gilt

$$\frac{8{,}4}{2{,}1}=4.$$

Für die Zehnerpotenzen gilt

$$\frac{10^6}{10^2}=10^4.$$

Damit

$$\frac{8{,}4\cdot10^6}{2{,}1\cdot10^2} = 4\cdot10^4.$$

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16. Ergebnisse immer normieren

Nach einer Rechnung kann ein Ergebnis zunächst so aussehen:

$$0{,}42\cdot10^8.$$

Das ist mathematisch richtig, aber nicht normiert.

Wir verschieben das Komma:

$$0{,}42\cdot10^8 = 4{,}2\cdot10^7.$$

Oder:

$$35\cdot10^4 = 3{,}5\cdot10^5.$$

Kontrolliere daher am Ende immer:

$$1\leq |a|<10.$$

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17. Taschenrechnerdarstellung

Viele Taschenrechner zeigen wissenschaftliche Schreibweise mit einem E.

Zum Beispiel kann

$$3{,}5\cdot10^8$$

als

3.5E8

angezeigt werden.

Das E8 bedeutet dabei

$$\cdot10^8.$$

Es handelt sich nur um eine andere Schreibweise derselben Zahl.

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18. Typische Fehler

Fehler 1: Die Basis ignorieren

$$1011_2$$

ist nicht die Dezimalzahl eintausendelf.

Der Index $2$ zeigt das verwendete Zahlensystem.

Fehler 2: Eine unerlaubte Ziffer verwenden

$$1201_2$$

ist keine gültige Binärzahl, weil im Binärsystem nur $0$ und $1$ erlaubt sind.

Fehler 3: Den Exponenten beim Komma-Verschieben falsch wählen

$$0{,}0034$$

ist

$$3{,}4\cdot10^{-3},$$

nicht

$$3{,}4\cdot10^3.$$

Fehler 4: Beim Addieren Exponenten addieren

Falsch:

$$2\cdot10^3+4\cdot10^3 = 6\cdot10^6.$$

Richtig:

$$2\cdot10^3+4\cdot10^3 = 6\cdot10^3.$$

Fehler 5: Ergebnis nicht normieren

$$18\cdot10^5$$

sollte als

$$1{,}8\cdot10^6$$

angegeben werden.

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19. Zusammenfassung

Stellenwertsystem

Bei Basis $b$ besitzt jede Stelle einen Wert

$$b^0,\;b^1,\;b^2,\;b^3,\ldots$$

Wissenschaftliche Schreibweise

$$a\cdot10^n$$

mit

$$1\leq |a|<10.$$

Addition und Subtraktion

Zuerst gleiche Zehnerpotenzen herstellen.

Multiplikation

Zahlenfaktoren multiplizieren und Potenzgesetz anwenden.

Division

Zahlenfaktoren dividieren und Potenzgesetz anwenden.

Merke:
Nach jeder Rechnung prüfen: Ist die Darstellung normiert und ist die Größenordnung plausibel?