Häufigkeitstabellen

Kompetenzcode: MG 7.2

Eine Urliste zeigt alle erhobenen Einzelwerte. Bei vielen Daten wird sie aber schnell unübersichtlich.

Eine Häufigkeitstabelle fasst gleiche Werte zusammen.

Dabei unterscheidet man zwei wichtige Arten von Häufigkeiten:

• absolute Häufigkeit: Wie oft kommt ein Wert vor?
• relative Häufigkeit: Welcher Anteil aller Daten gehört zu diesem Wert?

In diesem Kapitel lernst du,

• absolute Häufigkeiten zu bestimmen,
• relative Häufigkeiten zu bestimmen,
• eine Häufigkeitstabelle zu erstellen,
• Informationen aus einer Häufigkeitstabelle abzulesen und zu deuten.

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1. Ausgangspunkt: eine Urliste

Bei einer Befragung wird nach der Anzahl der Geschwister gefragt.

Die Urliste lautet:

$$1,\ 2,\ 0,\ 1,\ 3,\ 2,\ 1,\ 0,\ 1,\ 2.$$

Insgesamt wurden

$$\boxed{10}$$

Werte erhoben.

Die möglichen beobachteten Werte sind:

$$0,\ 1,\ 2,\ 3.$$

Nun möchten wir wissen, wie oft jeder Wert vorkommt.

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2. Absolute Häufigkeit bestimmen

Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft eine bestimmte Merkmalsausprägung im Datensatz vorkommt.

Wir verwenden häufig das Zeichen

$$h$$

für die absolute Häufigkeit.

In unserer Urliste kommt

$$0$$

zweimal vor.

Also:

$$\boxed{h(0)=2}.$$

Der Wert

$$1$$

kommt viermal vor.

Also:

$$\boxed{h(1)=4}.$$

Der Wert

$$2$$

kommt dreimal vor:

$$\boxed{h(2)=3}.$$

Der Wert

$$3$$

kommt einmal vor:

$$\boxed{h(3)=1}.$$

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3. Mit einer Strichliste zählen

Bei vielen Daten hilft eine Strichliste.

Für die Urliste

$$1,\ 2,\ 0,\ 1,\ 3,\ 2,\ 1,\ 0,\ 1,\ 2$$

kann man zählen:

Bei längeren Strichlisten werden häufig Fünfergruppen verwendet, damit man schneller zählen kann.

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4. Kontrolle der absoluten Häufigkeiten

Die Summe aller absoluten Häufigkeiten muss genau der Anzahl aller Daten entsprechen.

Hier:

$$2+4+3+1=10.$$

Es wurden insgesamt ebenfalls

$$10$$

Werte erhoben.

Also stimmt die Kontrolle.

Merke:
Die Summe aller absoluten Häufigkeiten ist die Gesamtzahl $n$ der Beobachtungen.

Mathematisch:

$$\boxed{h(0)+h(1)+h(2)+h(3)=n}.$$

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5. Relative Häufigkeit bestimmen

Die absolute Häufigkeit sagt, wie oft etwas vorkommt.

Die relative Häufigkeit sagt, welchen Anteil dieser Wert an allen Beobachtungen hat.

Dafür teilen wir:

$$\boxed{ r=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl aller Beobachtungen}} }$$

oder kurz:

$$\boxed{r=\frac{h}{n}}.$$

Dabei ist:

• $h$ die absolute Häufigkeit,
• $n$ die Gesamtzahl der Daten,
• $r$ die relative Häufigkeit.

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6. Beispiel zur relativen Häufigkeit

Der Wert

$$1$$

kommt in unserer Urliste viermal vor.

Also:

$$h(1)=4.$$

Insgesamt gibt es:

$$n=10$$

Beobachtungen.

Damit:

$$r(1) = \frac{4}{10} = 0{,}4.$$

Als Prozentzahl:

$$0{,}4=40\%.$$

Also:

$$\boxed{r(1)=0{,}4=40\%}.$$

Das bedeutet:

$40\%$ der befragten Personen haben genau ein Geschwister.

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7. Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl

Relative Häufigkeiten können auf verschiedene Arten angegeben werden.

Zum Beispiel:

$$\frac{3}{10}$$

als Bruch,

$$0{,}3$$

als Dezimalzahl,

oder

$$30\%$$

als Prozentzahl.

Alle drei Schreibweisen bedeuten denselben Anteil:

$$\boxed{ \frac{3}{10}=0{,}3=30\% }.$$

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8. Relative Häufigkeiten aller Werte

Für unsere Daten gilt:

Wert $0$

$$r(0)=\frac{2}{10}=0{,}2=20\%.$$

Wert $1$

$$r(1)=\frac{4}{10}=0{,}4=40\%.$$

Wert $2$

$$r(2)=\frac{3}{10}=0{,}3=30\%.$$

Wert $3$

$$r(3)=\frac{1}{10}=0{,}1=10\%.$$

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9. Kontrolle der relativen Häufigkeiten

Alle relativen Häufigkeiten zusammen ergeben den ganzen Datensatz.

Als Dezimalzahlen:

$$0{,}2+0{,}4+0{,}3+0{,}1=1.$$

Als Prozentzahlen:

$$20\%+40\%+30\%+10\%=100\%.$$

Merke:
Die Summe aller relativen Häufigkeiten ist $1$ beziehungsweise $100\%$.

Mathematisch:

$$\boxed{r(0)+r(1)+r(2)+r(3)=1}.$$

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10. Warum relative Häufigkeiten wichtig sind

Absolute Häufigkeiten lassen sich bei unterschiedlich großen Gruppen schlecht vergleichen.

Klasse A

In Klasse A wählen

$$12$$

von

$$20$$

Kindern den Bus.

Relative Häufigkeit:

$$\frac{12}{20} = 0{,}6 = 60\%.$$

Klasse B

In Klasse B wählen

$$15$$

von

$$30$$

Kindern den Bus.

Relative Häufigkeit:

$$\frac{15}{30} = 0{,}5 = 50\%.$$

Obwohl in Klasse B absolut mehr Kinder Bus fahren, ist der Anteil in Klasse A größer.

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11. Eine Häufigkeitstabelle erstellen

Wir beginnen wieder mit der Urliste:

$$1,\ 2,\ 0,\ 1,\ 3,\ 2,\ 1,\ 0,\ 1,\ 2.$$

Schritt 1: verschiedene Werte sammeln

$$0,\ 1,\ 2,\ 3.$$

Schritt 2: absolute Häufigkeiten zählen

$$2,\ 4,\ 3,\ 1.$$

Schritt 3: Gesamtzahl bestimmen

$$n=10.$$

Schritt 4: relative Häufigkeiten berechnen

$$\frac{2}{10},\quad \frac{4}{10},\quad \frac{3}{10},\quad \frac{1}{10}.$$

Schritt 5: Tabelle übersichtlich notieren

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12. Welche Spalten braucht eine Häufigkeitstabelle?

Eine einfache Häufigkeitstabelle enthält mindestens:

1. die Merkmalsausprägungen,
2. die absoluten Häufigkeiten.

Wenn relative Häufigkeiten gefragt sind, ergänzt man:

1. relative Häufigkeiten,
2. eventuell Prozentwerte.

Eine Strichliste kann zusätzlich als Hilfsspalte verwendet werden.

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13. Reihenfolge in der Tabelle

Numerische Werte werden meist aufsteigend geordnet:

$$0,\ 1,\ 2,\ 3.$$

Kategorien können nach einer sinnvollen Regel geordnet werden.

Beispiel:

Eine alphabetische Reihenfolge ist möglich, aber nicht zwingend.

Wichtig ist vor allem:

Jede Kategorie kommt genau einmal als eigene Tabellenzeile vor.

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14. Fehlende relative Häufigkeit berechnen

Gegeben ist:

Zuerst bestimmen wir:

$$n=6+9+5=20.$$

Für Rot:

$$r(\text{Rot}) = \frac{6}{20} = 0{,}3 = 30\%.$$

Für Blau:

$$r(\text{Blau}) = \frac{9}{20} = 0{,}45 = 45\%.$$

Für Grün:

$$r(\text{Grün}) = \frac{5}{20} = 0{,}25 = 25\%.$$

Kontrolle:

$$30\%+45\%+25\%=100\%.$$

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15. Fehlende absolute Häufigkeit bestimmen

Manchmal sind Gesamtzahl und relative Häufigkeit gegeben.

Beispiel:

$$n=40$$

und

$$r=25\%=0{,}25.$$

Gesucht ist die absolute Häufigkeit $h$.

Aus

$$r=\frac{h}{n}$$

folgt:

$$h=r\cdot n.$$

Also:

$$h=0{,}25\cdot40=10.$$

Damit:

$$\boxed{h=10}.$$

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16. Häufigkeitstabelle lesen

Eine Häufigkeitstabelle enthält viele Informationen.

Gegeben:

Daraus können wir direkt ablesen:

• Fußball wurde $12$-mal genannt.
• $40\%$ wählten Fußball.
• Schwimmen wurde $9$-mal genannt.
• Tennis wurde von $20\%$ gewählt.
• Insgesamt wurden $$12+9+6+3=30$$ Personen befragt.

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17. Häufigsten und seltensten Wert erkennen

Aus der Tabelle:

ist die größte absolute Häufigkeit:

$$12.$$

Also wurde Fußball am häufigsten gewählt.

Die kleinste absolute Häufigkeit ist:

$$3.$$

Damit wurde „Andere“ am seltensten genannt.

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18. Aussagen aus relativen Häufigkeiten formulieren

Eine relative Häufigkeit von

$$0{,}3$$

bedeutet:

$$30\%.$$

Eine passende Aussage lautet zum Beispiel:

$30\%$ der Befragten wählten Schwimmen.

Nicht passend wäre:

30 Personen wählten Schwimmen.

Denn $30\%$ ist ein Anteil und keine absolute Anzahl.

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19. Gesamtzahl aus einer Tabelle ablesen

Wenn alle absoluten Häufigkeiten gegeben sind, addierst du sie.

Beispiel:

$$8,\ 5,\ 4,\ 3.$$

Dann:

$$n=8+5+4+3=20.$$

Wenn die Tabelle eine Summenzeile enthält, kannst du $n$ dort direkt ablesen.

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20. Tabelle auf Fehler prüfen

Eine Häufigkeitstabelle kann fehlerhaft sein.

Prüfe:

Absolute Häufigkeiten

$$h_1+h_2+h_3+h_4=n.$$

Relative Häufigkeiten

$$r_1+r_2+r_3+r_4=1$$

beziehungsweise

$$100\%.$$

Einzelne relative Häufigkeit

Für jede Zeile sollte gelten:

$$r_i=\frac{h_i}{n}.$$

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21. Rundungen bei relativen Häufigkeiten

Manchmal entstehen Dezimalzahlen, die nicht endlich sind.

Beispiel:

$$\frac{1}{3}=0{,}333\ldots$$

Als Prozentzahl:

$$33{,}333\ldots\%.$$

Gerundet auf eine Nachkommastelle:

$$33{,}3\%.$$

Durch Rundungen kann die Summe der Prozentwerte geringfügig von

$$100\%$$

abweichen.

Zum Beispiel:

$$33{,}3\%+33{,}3\%+33{,}3\%=99{,}9\%.$$

Das kann nur durch Rundung entstehen.

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22. Typische Fehler

Fehler 1: Absolute und relative Häufigkeit verwechseln

Absolute Häufigkeit:

$$\text{Anzahl}.$$

Relative Häufigkeit:

$$\text{Anteil}.$$

Fehler 2: Falsch herum teilen

Richtig:

$$r=\frac{h}{n}.$$

Nicht:

$$\frac{n}{h}.$$

Fehler 3: Prozentzahl direkt als Anzahl lesen

$$40\%$$

bedeutet nicht automatisch $40$ Personen.

Fehler 4: Gesamtzahl falsch bestimmen

Für relative Häufigkeiten brauchst du die Zahl aller Beobachtungen $n$.

Fehler 5: Werte in der Tabelle doppelt anführen

Jede Merkmalsausprägung bekommt genau eine Zeile.

Fehler 6: Summenkontrolle vergessen

Absolute Häufigkeiten müssen $n$, relative Häufigkeiten müssen $1$ beziehungsweise $100\%$ ergeben.

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23. Das Wichtigste auf einen Blick

Absolute Häufigkeit:

$$\boxed{h=\text{Anzahl des Auftretens}}$$

Relative Häufigkeit:

$$\boxed{r=\frac{h}{n}}$$

Als Prozentzahl:

$$\boxed{r\cdot100\%}.$$

Kontrollen:

$$\boxed{h_1+h_2+h_3+h_4=n}$$

und

$$\boxed{r_1+r_2+r_3+r_4=1=100\%}.$$

Eine Häufigkeitstabelle fasst gleiche Werte zusammen und zeigt, wie oft beziehungsweise mit welchem Anteil sie vorkommen.