Arithmetisches Mittel, Median und Modus

Kompetenzcode: MG 7.4

Lagekennzahlen helfen dabei, einen Datensatz mit wenigen Zahlen zu beschreiben. Besonders wichtig sind das arithmetische Mittel, der Median und der Modalwert (Modus).

In diesem Kapitel lernst du,

• das arithmetische Mittel zu berechnen,
• den Median zu bestimmen,
• den Modalwert zu bestimmen,
• Mittelwert und Median zu vergleichen,
• eine passende Lagekennzahl auszuwählen.

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1. Drei verschiedene Ideen für die „Mitte“

Betrachte den Datensatz

$$2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 8.$$

Das arithmetische Mittel berücksichtigt alle Werte.

Der Median ist die Mitte der geordneten Liste.

Der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert.

Diese Kennzahlen können gleich sein, müssen es aber nicht.

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2. Arithmetisches Mittel berechnen

Für die Werte $x_1,x_2,\ldots,x_n$ gilt:

$$\boxed{\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}}$$

Also:

Alle Werte addieren und durch die Anzahl der Werte teilen.

Beispiel:

$$4,\ 6,\ 8,\ 10$$ $$4+6+8+10=28$$

und

$$n=4.$$

Damit:

$$\bar{x}=\frac{28}{4}=7.$$ $$\boxed{\bar{x}=7}$$

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3. Ein Mittelwert muss nicht in der Liste vorkommen

Gegeben:

$$2,\ 4,\ 5,\ 6.$$

Dann:

$$\bar{x} = \frac{2+4+5+6}{4} = \frac{17}{4} = 4{,}25.$$

Der Wert $4{,}25$ kommt in der Datenliste nicht vor. Trotzdem ist er der richtige Mittelwert.

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4. Mittelwert mit wiederholten Werten

Gegeben:

$$2,\ 2,\ 2,\ 5,\ 5,\ 8.$$

Man kann schreiben:

$$\bar{x} = \frac{2+2+2+5+5+8}{6}.$$

Oder kürzer mit den Häufigkeiten:

$$\bar{x} = \frac{3\cdot2+2\cdot5+1\cdot8}{6} = \frac{24}{6} = 4.$$

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5. Mittelwert im Kontext deuten

Fünf Kinder lesen in den Ferien

$$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 7$$

Bücher.

Dann:

$$\bar{x} = \frac{1+2+2+3+7}{5} = 3.$$

Eine passende Aussage lautet:

Im Durchschnitt wurden $3$ Bücher gelesen.

Das bedeutet nicht, dass jedes Kind genau $3$ Bücher gelesen hat.

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6. Median bestimmen

Der Median ist der mittlere Wert einer geordneten Datenliste.

Deshalb lautet der erste Schritt immer:

$$\boxed{\text{Daten sortieren}}$$

Beispiel:

Ungeordnet:

$$8,\ 3,\ 5,\ 2,\ 7$$

Geordnet:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 8.$$

Der mittlere Wert ist $5$.

Also:

$$\boxed{\tilde{x}=5}$$

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7. Median bei ungerader Anzahl

Gegeben:

$$1,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9.$$

Es gibt $n=5$ Werte.

Die mittlere Position ist

$$\frac{n+1}{2} = \frac{5+1}{2} = 3.$$

Der dritte Wert ist $4$.

Damit:

$$\boxed{\tilde{x}=4}$$

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8. Median bei gerader Anzahl

Gegeben:

$$2,\ 4,\ 6,\ 10.$$

Es gibt zwei mittlere Werte:

$$4\quad\text{und}\quad6.$$

Der Median ist deren Mittelwert:

$$\tilde{x} = \frac{4+6}{2} = 5.$$

Also:

$$\boxed{\tilde{x}=5}$$

Merke: Bei gerader Datenanzahl wird der Mittelwert der beiden mittleren Werte gebildet.

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9. Warum Sortieren unverzichtbar ist

Gegeben:

$$9,\ 2,\ 7,\ 3,\ 4.$$

Die mittig hingeschriebene Zahl $7$ ist nicht automatisch der Median.

Erst sortieren:

$$2,\ 3,\ 4,\ 7,\ 9.$$

Nun ist die Mitte:

$$\boxed{4}.$$

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10. Was sagt der Median aus?

Der Median teilt eine geordnete Datenliste in zwei Hälften.

Vereinfacht gesagt:

• ungefähr die Hälfte der Werte liegt nicht über dem Median,
• ungefähr die Hälfte liegt nicht unter dem Median.

Das macht den Median besonders nützlich, wenn einzelne Werte sehr groß oder sehr klein sind.

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11. Modalwert bestimmen

Der Modalwert oder Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.

Gegeben:

$$2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 5,\ 3,\ 6.$$

Der Wert $3$ kommt dreimal vor. Kein anderer Wert kommt so oft vor.

Also:

$$\boxed{\text{Modus}=3}$$

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12. Modus bei Kategorien

Der Modus funktioniert auch bei Daten, die keine Zahlen sind.

Beispiel:

• Blau,
• Rot,
• Grün,
• Blau,
• Blau,
• Rot.

Am häufigsten kommt „Blau“ vor.

Also:

$$\boxed{\text{Modus}=\text{Blau}}$$

Für Kategorien wie Farben kann ein Modus sinnvoll sein, obwohl ein arithmetisches Mittel nicht möglich ist.

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13. Mehrere Modalwerte

Gegeben:

$$1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3.$$

Die Werte $1$ und $2$ kommen beide zweimal vor.

Damit gibt es zwei Modalwerte:

$$\boxed{1\text{ und }2}$$

Wenn alle Werte gleich häufig vorkommen, gibt es keinen eindeutigen Modalwert.

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14. Modus ist nicht der größte Wert

Gegeben:

$$2,\ 2,\ 2,\ 5,\ 9.$$

Der größte Wert ist $9$.

Der häufigste Wert ist aber $2$.

Also:

$$\boxed{\text{Modus}=2}$$

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15. Mittelwert und Median vergleichen

Gegeben:

$$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6.$$

Median:

$$\tilde{x}=4.$$

Mittelwert:

$$\bar{x} = \frac{2+3+4+5+6}{5} = 4.$$

Hier stimmen beide Lagekennzahlen überein.

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16. Ein Ausreißer verändert den Mittelwert

Nun betrachten wir:

$$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 36.$$

Der Median ist weiterhin:

$$\boxed{\tilde{x}=4}$$

Das arithmetische Mittel ist:

$$\bar{x} = \frac{2+3+4+5+36}{5} = \frac{50}{5} = 10.$$

Also:

$$\boxed{\bar{x}=10}$$

Der Wert $36$ zieht den Mittelwert stark nach oben. Der Median bleibt nahe bei den meisten Daten.

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17. Was ist ein Ausreißer?

Ein Ausreißer ist ein Wert, der deutlich von den meisten anderen Werten entfernt liegt.

Beispiel:

$$3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 40.$$

Der Wert $40$ ist hier auffällig weit von den übrigen Daten entfernt.

Solche Werte beeinflussen das arithmetische Mittel oft stark.

Der Median ist gegenüber einzelnen Ausreißern meist robuster.

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18. Passende Lagekennzahl auswählen

Welche Lagekennzahl geeignet ist, hängt von den Daten und von der Frage ab.

Arithmetisches Mittel

Sinnvoll, wenn

• die Daten Zahlen sind,
• alle Werte berücksichtigt werden sollen,
• starke Ausreißer die Aussage nicht verzerren.

Median

Sinnvoll, wenn

• die Daten geordnet werden können,
• einzelne extreme Werte vorkommen,
• die mittlere Position besonders wichtig ist.

Modus

Sinnvoll, wenn

• der häufigste Wert gesucht ist,
• Kategorien untersucht werden,
• die häufigste Ausprägung wichtig ist.

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19. Beispiel: Einkommen

Gegeben:

$$1500,\ 1600,\ 1700,\ 1800,\ 12000.$$

Median:

$$\boxed{\tilde{x}=1700}$$

Mittelwert:

$$\bar{x} = \frac{1500+1600+1700+1800+12000}{5} = 3720.$$

Der sehr hohe Wert $12000$ zieht den Mittelwert stark nach oben.

Wenn die typische Mitte der Einkommen beschrieben werden soll, ist der Median hier oft aussagekräftiger.

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20. Beispiel: T-Shirt-Größen

Gegeben:

$$S,\ M,\ M,\ L,\ M,\ S.$$

Ein arithmetisches Mittel ist hier nicht sinnvoll.

Der häufigste Wert ist:

$$\boxed{M}.$$

Wenn gefragt wird, welche Größe am häufigsten benötigt wird, ist der Modus die passende Lagekennzahl.

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21. Ungeordnete Kategorien

Bei Augenfarben wie

• Braun,
• Blau,
• Grün,
• Braun

ist ein arithmetisches Mittel nicht sinnvoll.

Auch ein Median ist nicht sinnvoll, weil es keine natürliche Reihenfolge von Augenfarben gibt.

Der Modus ist möglich:

$$\boxed{\text{Braun}}.$$

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22. Alle drei Kennzahlen gemeinsam

Gegeben:

$$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 12.$$

Mittelwert:

$$\bar{x} = \frac{1+2+2+3+12}{5} = 4.$$

Median:

$$\tilde{x}=2.$$

Modus:

$$2.$$

Damit:

$$\boxed{ \bar{x}=4,\qquad \tilde{x}=2,\qquad \text{Modus}=2 }$$

Die drei Kennzahlen beschreiben unterschiedliche Eigenschaften des Datensatzes.

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23. Typische Fehler

Fehler 1: Beim Mittelwert durch die falsche Zahl teilen

Richtig:

$$\frac{\text{Summe aller Werte}}{\text{Anzahl aller Werte}}.$$

Fehler 2: Median ohne Sortieren bestimmen

Der Median wird aus der geordneten Liste bestimmt.

Fehler 3: Bei gerader Anzahl nur einen mittleren Wert nehmen

Die beiden mittleren Werte müssen gemittelt werden.

Fehler 4: Modus mit Maximum verwechseln

Der Modus ist der häufigste Wert, nicht der größte.

Fehler 5: Ausreißer beim Vergleich ignorieren

Ausreißer können den Mittelwert stark verschieben.

Fehler 6: Mittelwert für Kategorien berechnen

Für ungeordnete Kategorien ist das arithmetische Mittel nicht sinnvoll.

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24. Das Wichtigste auf einen Blick

Arithmetisches Mittel:

$$\boxed{\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}}$$

Median:

• zuerst sortieren,
• bei ungerader Anzahl den mittleren Wert nehmen,
• bei gerader Anzahl die beiden mittleren Werte mitteln.

Modus:

$$\boxed{\text{am häufigsten vorkommende Ausprägung}}$$

Vergleich:

• Mittelwert berücksichtigt alle Zahlen und reagiert empfindlich auf Ausreißer,
• Median beschreibt die Mitte der geordneten Liste und ist robuster gegenüber Ausreißern,
• Modus beschreibt die häufigste Ausprägung und funktioniert auch bei Kategorien.

Die passende Kennzahl hängt von Datenart, Ausreißern und Fragestellung ab.