Spannweite und Quartile

Kompetenzcode: MG 7.5

Nachdem Daten geordnet sind, kann man beschreiben, wo sie liegen und wie weit sie auseinanderliegen.

Dafür brauchen wir in diesem Kapitel:

• das Minimum,
• das Maximum,
• die Spannweite,
• das untere Quartil $Q_1$,
• das obere Quartil $Q_3$.

Quartile teilen eine geordnete Datenliste in Bereiche. Sie sind später auch für Boxplots wichtig.

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1. Daten zuerst ordnen

Gegeben ist die Liste

$$12,\ 7,\ 10,\ 5,\ 9,\ 14,\ 8.$$

Bevor wir Minimum, Maximum oder Quartile sicher bestimmen, ordnen wir:

$$\boxed{5,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12,\ 14}.$$

Merke: Für Quartile muss die Datenliste aufsteigend geordnet sein.

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2. Minimum und Maximum bestimmen

Das Minimum ist der kleinste Wert.

Das Maximum ist der größte Wert.

In

$$5,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 12,\ 14$$

gilt:

$$\boxed{x_{\min}=5}$$

und

$$\boxed{x_{\max}=14}.$$

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3. Minimum und Maximum im Kontext

Angenommen, die Werte sind Laufzeiten in Minuten.

Dann bedeutet

$$x_{\min}=5\,\mathrm{min}:$$

Die kürzeste gemessene Laufzeit beträgt $5\,\mathrm{min}$.

Und

$$x_{\max}=14\,\mathrm{min}:$$

Die längste gemessene Laufzeit beträgt $14\,\mathrm{min}$.

Eine statistische Kennzahl sollte im Kontext immer mit ihrer Bedeutung und Einheit angegeben werden.

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4. Spannweite berechnen

Die Spannweite beschreibt den Abstand zwischen größtem und kleinstem Wert.

Es gilt:

$$\boxed{ R=x_{\max}-x_{\min} }$$

Für

$$x_{\min}=5$$

und

$$x_{\max}=14$$

erhalten wir:

$$R=14-5=9.$$

Also:

$$\boxed{R=9}.$$

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5. Spannweite im Kontext deuten

Wenn die Daten Laufzeiten in Minuten sind, hat auch die Spannweite die Einheit Minuten.

$$R=9\,\mathrm{min}.$$

Das bedeutet:

Zwischen der kleinsten und der größten gemessenen Laufzeit liegen $9\,\mathrm{min}$.

Die Spannweite verwendet nur zwei Werte:

• Minimum,
• Maximum.

Sie sagt noch nicht, wie die übrigen Daten verteilt sind.

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6. Warum die Spannweite empfindlich ist

Betrachten wir:

$$4,\ 5,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7.$$

Dann:

$$R=7-4=3.$$

Nun ersetzen wir nur den letzten Wert durch $30$:

$$4,\ 5,\ 5,\ 6,\ 6,\ 30.$$

Dann:

$$R=30-4=26.$$

Ein einzelner extremer Wert kann die Spannweite also stark verändern.

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7. Was sind Quartile?

Quartile teilen eine geordnete Datenliste in vier Bereiche.

Wichtige Quartile sind:

$$Q_1=\text{unteres Quartil},$$ $$Q_2=\text{Median},$$ $$Q_3=\text{oberes Quartil}.$$

Vereinfacht:

• $Q_1$ liegt an der Grenze zum unteren Viertel,
• der Median $Q_2$ liegt in der Mitte,
• $Q_3$ liegt an der Grenze zum oberen Viertel.

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8. Die Lerncoach-Konvention für Quartile

Für die folgenden Aufgaben verwenden wir eine feste Methode:

1. Daten aufsteigend ordnen.
2. Median bestimmen.
3. Bei ungerader Datenanzahl den Median nicht in die beiden Hälften aufnehmen.
4. $Q_1$ ist der Median der unteren Hälfte.
5. $Q_3$ ist der Median der oberen Hälfte.

Wichtig: Es gibt verschiedene Quartilskonventionen. In Lerncoach verwenden wir innerhalb dieser Themen konsequent die oben angegebene Methode.

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9. Unteres Quartil bestimmen

Gegeben:

$$8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 14,\ 16,\ 18,\ 18,\ 20,\ 22,\ 24.$$

Es gibt $11$ Werte.

Der Median ist der mittlere Wert:

$$\boxed{16}.$$

Der Median wird bei ungerader Anzahl nicht in die beiden Hälften aufgenommen.

Untere Hälfte:

$$8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 14.$$

Der Median dieser unteren Hälfte ist:

$$\boxed{Q_1=12}.$$

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10. Oberes Quartil bestimmen

Wir verwenden dieselbe geordnete Liste:

$$8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 14,\ 16,\ 18,\ 18,\ 20,\ 22,\ 24.$$

Obere Hälfte:

$$18,\ 18,\ 20,\ 22,\ 24.$$

Der Median dieser oberen Hälfte ist:

$$\boxed{Q_3=20}.$$

Damit haben wir:

$$\boxed{ Q_1=12,\qquad Q_2=16,\qquad Q_3=20 }.$$

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11. Quartile bei gerader Datenanzahl

Gegeben:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8.$$

Der Median ist:

$$Q_2 = \frac{4+5}{2} = 4{,}5.$$

Untere Hälfte:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4.$$

Deren Median ist:

$$Q_1 = \frac{2+3}{2} = 2{,}5.$$

Obere Hälfte:

$$5,\ 6,\ 7,\ 8.$$

Deren Median ist:

$$Q_3 = \frac{6+7}{2} = 6{,}5.$$

Also:

$$\boxed{ Q_1=2{,}5,\qquad Q_2=4{,}5,\qquad Q_3=6{,}5 }.$$

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12. Unteres Quartil interpretieren

Das untere Quartil $Q_1$ beschreibt eine Grenze im unteren Bereich der Daten.

Formal gilt:

Mindestens $25\%$ der Werte sind kleiner oder gleich $Q_1$, und mindestens $75\%$ der Werte sind größer oder gleich $Q_1$.

Beispiel:

$$Q_1=12\,\mathrm{min}.$$

Dann kann man sagen:

Mindestens ein Viertel der beobachteten Werte liegt bei höchstens $12\,\mathrm{min}$.

Wegen mehrfach vorkommender Werte muss nicht immer genau ein Viertel darunterliegen.

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13. Oberes Quartil interpretieren

Für das obere Quartil $Q_3$ gilt:

Mindestens $75\%$ der Werte sind kleiner oder gleich $Q_3$, und mindestens $25\%$ der Werte sind größer oder gleich $Q_3$.

Beispiel:

$$Q_3=20\,\mathrm{min}.$$

Dann kann man sagen:

Mindestens drei Viertel der Werte liegen bei höchstens $20\,\mathrm{min}$.

Oder:

Mindestens ein Viertel der Werte liegt bei mindestens $20\,\mathrm{min}$.

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14. Die mittleren 50 Prozent

Zwischen $Q_1$ und $Q_3$ liegt der mittlere Bereich der Daten.

Dieser Bereich umfasst ungefähr die mittleren

$$50\%$$

der Daten.

Seine Breite heißt Interquartilsabstand:

$$\boxed{ IQR=Q_3-Q_1 }.$$

Für

$$Q_1=12$$

und

$$Q_3=20$$

gilt:

$$IQR=20-12=8.$$

Der Interquartilsabstand ist besonders für Boxplots wichtig.

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15. Spannweite und Interquartilsabstand unterscheiden

Die Spannweite verwendet:

$$x_{\min} \quad\text{und}\quad x_{\max}.$$

Also:

$$R=x_{\max}-x_{\min}.$$

Der Interquartilsabstand verwendet:

$$Q_1 \quad\text{und}\quad Q_3.$$

Also:

$$IQR=Q_3-Q_1.$$

Die Spannweite beschreibt den gesamten Abstand von Minimum bis Maximum.

Der Interquartilsabstand beschreibt die Breite des mittleren Datenbereichs.

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16. Quartile kontrollieren

Nach der Berechnung sollte gelten:

$$\boxed{ x_{\min}\le Q_1\le Q_2\le Q_3\le x_{\max} }.$$

Wenn zum Beispiel

$$Q_1>Q_3$$

herauskommt, wurde sicher etwas verwechselt.

Diese Reihenfolge ist eine einfache und wichtige Kontrolle.

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17. Beispiel vollständig

Gegeben:

$$3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15.$$

Die Liste ist bereits geordnet.

Minimum

$$x_{\min}=3.$$

Maximum

$$x_{\max}=15.$$

Spannweite

$$R=15-3=12.$$

Median

Es gibt $9$ Werte.

$$Q_2=8.$$

Der Median wird für die Quartile nicht mitgenommen.

Untere Hälfte:

$$3,\ 5,\ 6,\ 7.$$ $$Q_1 = \frac{5+6}{2} = 5{,}5.$$

Obere Hälfte:

$$9,\ 11,\ 13,\ 15.$$ $$Q_3 = \frac{11+13}{2} = 12.$$

Damit:

$$\boxed{ 3\le5{,}5\le8\le12\le15 }.$$

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18. Quartile im Sachzusammenhang formulieren

Angenommen, es handelt sich um Wartezeiten in Minuten und es gilt:

$$Q_1=5, \qquad Q_3=12.$$

Dann sind sinnvolle Aussagen:

Mindestens $25\%$ der Wartezeiten sind höchstens $5\,\mathrm{min}$.

Mindestens $75\%$ der Wartezeiten sind höchstens $12\,\mathrm{min}$.

Der mittlere Bereich der Wartezeiten liegt ungefähr zwischen $5$ und $12\,\mathrm{min}$.

Nicht sinnvoll wäre:

Alle Wartezeiten liegen zwischen $5$ und $12\,\mathrm{min}$.

Denn Minimum und Maximum können außerhalb dieses Bereichs liegen.

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19. Typische Fehler

Fehler 1: Daten nicht sortieren

Quartile werden aus der geordneten Liste bestimmt.

Fehler 2: Minimum und Maximum vertauschen

Minimum = kleinster Wert.

Maximum = größter Wert.

Fehler 3: Spannweite addieren

Richtig:

$$R=x_{\max}-x_{\min}.$$

Fehler 4: Median bei ungerader Anzahl doppelt verwenden

In der Lerncoach-Konvention wird der Gesamtmedian nicht noch einmal in die untere oder obere Hälfte aufgenommen.

Fehler 5: $Q_1$ und $Q_3$ vertauschen

Es gilt:

$$Q_1\le Q_3.$$

Fehler 6: Quartile als exakt 25-%-Grenzen missverstehen

Bei gleichen Datenwerten können mehr als $25\%$ auf einer Seite der Quartilsgrenze liegen.

Fehler 7: Quartilsmethoden mischen

Eine Aufgabe muss mit einer einheitlichen Quartilskonvention gelöst werden.

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20. Das Wichtigste auf einen Blick

Minimum:

$$\boxed{x_{\min}=\text{kleinster Wert}}$$

Maximum:

$$\boxed{x_{\max}=\text{größter Wert}}$$

Spannweite:

$$\boxed{R=x_{\max}-x_{\min}}$$

Quartile:

$$\boxed{Q_1=\text{Median der unteren Hälfte}}$$ $$\boxed{Q_2=\text{Median}}$$ $$\boxed{Q_3=\text{Median der oberen Hälfte}}$$

Bei ungerader Datenanzahl wird der Gesamtmedian in der Lerncoach-Konvention nicht in die beiden Hälften aufgenommen.

Kontrolle:

$$\boxed{ x_{\min}\le Q_1\le Q_2\le Q_3\le x_{\max} }.$$

Quartile helfen dabei, nicht nur die äußeren Grenzen, sondern auch die Lage der mittleren Datenbereiche zu beschreiben.