Boxplots

Kompetenzcode: MG 7.6

Ein Boxplot fasst einen Datensatz mit nur fünf wichtigen Werten übersichtlich zusammen.

Diese fünf Werte heißen Fünf-Punkte-Zusammenfassung:

$$\boxed{ x_{\min},\ Q_1,\ Q_2,\ Q_3,\ x_{\max} }$$

Dabei ist:

• $x_{\min}$ das Minimum,
• $Q_1$ das untere Quartil,
• $Q_2$ der Median,

Ein Boxplot zeigt also nicht jeden einzelnen Datenwert, sondern wichtige Grenzen und die Lage der mittleren Datenbereiche.

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1. Grundlage: Daten zuerst ordnen

Gegeben ist die Datenliste

$$18,\ 9,\ 14,\ 12,\ 7,\ 16,\ 10,\ 20,\ 11.$$

Zuerst ordnen wir:

$$\boxed{ 7,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 14,\ 16,\ 18,\ 20 }.$$

Erst aus der geordneten Liste bestimmen wir die Fünf-Punkte-Zusammenfassung.

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2. Fünf-Punkte-Zusammenfassung bestimmen

Wir verwenden die geordnete Liste

$$7,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 14,\ 16,\ 18,\ 20.$$

Minimum

$$x_{\min}=7.$$

Maximum

$$x_{\max}=20.$$

Median $Q_2$

Es gibt $9$ Werte.

Der mittlere Wert ist:

$$Q_2=12.$$

Für die Bestimmung von $Q_1$ und $Q_3$ wird dieser mittlere Wert in der Lerncoach-Konvention nicht noch einmal in die Hälften aufgenommen.

Untere Hälfte:

$$7,\ 9,\ 10,\ 11.$$

Daher:

$$Q_1 = \frac{9+10}{2} = 9{,}5.$$

Obere Hälfte:

$$14,\ 16,\ 18,\ 20.$$

Daher:

$$Q_3 = \frac{16+18}{2} = 17.$$

Damit lautet die Fünf-Punkte-Zusammenfassung:

$$\boxed{ 7,\ 9{,}5,\ 12,\ 17,\ 20 }.$$

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3. Reihenfolge kontrollieren

Für eine korrekte Fünf-Punkte-Zusammenfassung muss gelten:

$$\boxed{ x_{\min}\le Q_1\le Q_2\le Q_3\le x_{\max} }.$$

In unserem Beispiel:

$$7\le9{,}5\le12\le17\le20.$$

Die Reihenfolge stimmt.

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4. Was zeigt ein Boxplot?

Ein Boxplot besteht in unserer Darstellung aus:

• einer Skala,
• einer Box von $Q_1$ bis $Q_3$,
• einer Linie in der Box für den Median $Q_2$,

Die äußeren Verbindungen werden oft Antennen oder Whisker genannt.

In diesem Unterstufenthema reichen die Antennen bis zum beobachteten Minimum und Maximum.

Wichtig: In anderen statistischen Verfahren können Boxplots Ausreißer gesondert behandeln. Hier verwenden wir konsequent den Boxplot aus der Fünf-Punkte-Zusammenfassung.

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5. Boxplot erstellen

Gegeben sei:

$$x_{\min}=4,\qquad Q_1=7,\qquad Q_2=10,\qquad Q_3=14,\qquad x_{\max}=19.$$

Schritt 1: Zahlengerade zeichnen

Die Skala muss alle Werte von $4$ bis $19$ enthalten.

Eine Skala von

$$0$$

bis

$$20$$

ist zum Beispiel geeignet.

Schritt 2: Quartile markieren

Markiere:

$$Q_1=7, \qquad Q_2=10, \qquad Q_3=14.$$

Schritt 3: Box zeichnen

Die Box reicht von

$$7$$

bis

$$14.$$

Schritt 4: Median einzeichnen

Bei

$$10$$

wird eine Linie in der Box gezeichnet.

Schritt 5: Minimum und Maximum einzeichnen

Markiere:

$$4$$

und

$$19.$$

Schritt 6: Antennen zeichnen

Verbinde das Minimum mit der linken Boxseite und die rechte Boxseite mit dem Maximum.

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6. Warum die Skala wichtig ist

Ein Boxplot muss auf einer gleichmäßigen Zahlenskala liegen.

Die Abstände stellen echte Zahlenabstände dar.

Wenn

$$Q_1=5$$

und

$$Q_2=10,$$

muss der Abstand im Bild doppelt so groß sein wie zwischen

$$Q_2=10$$

und

$$Q_3=12{,}5.$$

Ein Boxplot darf also nicht einfach aus fünf gleich weit entfernten Markierungen bestehen.

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7. Die Box zeigt die mittleren Daten

Die Box reicht von

$$Q_1$$

bis

$$Q_3.$$

Zwischen diesen Quartilen liegt ungefähr die mittlere Hälfte der Daten.

Die Breite der Box entspricht dem Interquartilsabstand:

$$\boxed{ IQR=Q_3-Q_1 }.$$

Beispiel:

$$Q_1=7, \qquad Q_3=14.$$

Dann:

$$IQR=14-7=7.$$

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8. Werte aus einem Boxplot ablesen

Um einen Boxplot zu lesen, gehst du systematisch vor:

1. Skala prüfen.
2. linkes äußeres Ende ablesen $\rightarrow x_{\min}$.
3. linke Boxkante ablesen $\rightarrow Q_1$.
4. Linie in der Box ablesen .

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9. Beispiel: Boxplot lesen

Angenommen, du liest aus einem Boxplot:

$$x_{\min}=3,$$ $$Q_1=6,$$ $$Q_2=8,$$ $$Q_3=12,$$ $$x_{\max}=17.$$

Dann ist die Fünf-Punkte-Zusammenfassung:

$$\boxed{ 3,\ 6,\ 8,\ 12,\ 17 }.$$

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10. Spannweite aus dem Boxplot ablesen

Mit

$$x_{\min}=3$$

und

$$x_{\max}=17$$

ist die Spannweite:

$$R = 17-3 = 14.$$

Also:

$$\boxed{R=14}.$$

Der Boxplot zeigt damit auch, wie weit der gesamte beobachtete Datenbereich reicht.

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11. Interquartilsabstand aus dem Boxplot bestimmen

Mit

$$Q_1=6$$

und

$$Q_3=12$$

gilt:

$$IQR = 12-6 = 6.$$

Also:

$$\boxed{IQR=6}.$$

Die Box selbst hat damit auf der Zahlenskala die Breite $6$.

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12. Aussagen aus einem Boxplot formulieren

Wenn

$$Q_2=8,$$

ist $8$ der Median.

Eine passende Aussage lautet:

Der Median der Daten beträgt $8$.

Wenn die Daten zum Beispiel Wartezeiten in Minuten sind:

Der Median der Wartezeiten beträgt $8\,\mathrm{min}$.

Auch für die Quartile können wir Aussagen formulieren:

Bei

$$Q_1=6$$

gilt:

Mindestens $25\%$ der Werte sind kleiner oder gleich $6$.

Bei

$$Q_3=12$$

gilt:

Mindestens $75\%$ der Werte sind kleiner oder gleich $12$.

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13. Was kann man aus einem Boxplot nicht ablesen?

Ein Boxplot zeigt nicht:

• jeden einzelnen Datenwert,
• die genaue Anzahl gleicher Werte,
• den Modalwert,
• das arithmetische Mittel,
• die genaue Form der Verteilung innerhalb eines Quartilbereichs.

Aus einem Boxplot darf man daher nicht mehr behaupten, als er tatsächlich zeigt.

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14. Zwei Boxplots vergleichen

Boxplots sind besonders nützlich, um zwei Datensätze zu vergleichen.

Achte dabei auf dieselbe Skala.

Vergleichen kann man zum Beispiel:

• Median,
• Minimum und Maximum,
• Spannweite,
• $Q_1$ und $Q_3$,
• Interquartilsabstand.

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15. Mediane vergleichen

Datensatz A:

$$Q_2=12.$$

Datensatz B:

$$Q_2=16.$$

Dann liegt der Median von B höher.

Im Kontext kann man zum Beispiel sagen:

Die typische mittlere Wartezeit ist bei Gruppe B höher als bei Gruppe A.

Dabei sollte man vorsichtig formulieren:

Der Median allein beschreibt nicht alle Eigenschaften des Datensatzes.

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16. Spannweiten vergleichen

Für Gruppe A:

$$x_{\min}=5, \qquad x_{\max}=20.$$

Dann:

$$R_A=20-5=15.$$

Für Gruppe B:

$$x_{\min}=9, \qquad x_{\max}=18.$$

Dann:

$$R_B=18-9=9.$$

Damit besitzt Gruppe A die größere Spannweite.

Die Daten von A reichen insgesamt über einen größeren Wertebereich.

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17. Boxbreiten vergleichen

Die Boxbreite entspricht dem Interquartilsabstand.

Gruppe A:

$$Q_1=8,\qquad Q_3=18.$$ $$IQR_A=18-8=10.$$

Gruppe B:

$$Q_1=11,\qquad Q_3=16.$$ $$IQR_B=16-11=5.$$

Damit sind die mittleren $50\%$ der Werte bei Gruppe B enger beieinander.

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18. Gleicher Median bedeutet nicht gleicher Datensatz

Zwei Boxplots können denselben Median besitzen und trotzdem sehr verschieden sein.

Beispiel:

Gruppe A

$$x_{\min}=2,\quad Q_1=5,\quad Q_2=10,\quad Q_3=15,\quad x_{\max}=20.$$

Gruppe B

$$x_{\min}=8,\quad Q_1=9,\quad Q_2=10,\quad Q_3=11,\quad x_{\max}=12.$$

Beide haben:

$$Q_2=10.$$

Aber Gruppe A streut viel stärker.

Darum sollte ein Vergleich mehrere Kennzahlen berücksichtigen.

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19. Gleiche Boxbreite bedeutet nicht gleiche Spannweite

Zwei Boxplots können denselben Interquartilsabstand besitzen, aber unterschiedliche Minima und Maxima.

Deshalb:

Boxbreite und gesamte Spannweite sind zwei verschiedene Informationen.

Die Box beschreibt den mittleren Bereich.

Die äußeren Enden beschreiben den gesamten dargestellten Wertebereich.

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20. Boxplots im Kontext vergleichen

Angenommen, zwei Klassen schreiben denselben Test.

Klasse A

$$Q_2=72,\qquad IQR=10.$$

Klasse B

$$Q_2=68,\qquad IQR=22.$$

Eine angemessene Aussage wäre:

Klasse A hat den höheren Median. Außerdem liegen die mittleren $50\%$ der Ergebnisse bei Klasse A enger zusammen.

Nicht zulässig wäre ohne weitere Informationen:

Jede Schülerin und jeder Schüler aus Klasse A ist besser als alle aus Klasse B.

Ein Boxplot erlaubt keine solche Aussage über alle Einzelwerte.

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21. Typische Fehler

Fehler 1: Daten für die Fünf-Punkte-Zusammenfassung nicht sortieren

Quartile und Median benötigen eine geordnete Datenliste.

Fehler 2: Box von Minimum bis Maximum zeichnen

Die Box reicht nur von

$$Q_1$$

bis

$$Q_3.$$

Fehler 3: Median an der Boxkante einzeichnen

Der Median liegt als eigene Linie zwischen $Q_1$ und $Q_3$.

Fehler 4: Skala ignorieren

Alle Positionen müssen zur Zahlenskala passen.

Fehler 5: Boxbreite mit Spannweite verwechseln

Boxbreite:

$$Q_3-Q_1.$$

Spannweite:

$$x_{\max}-x_{\min}.$$

Fehler 6: Aus Boxplots Einzelwerte erfinden

Ein Boxplot zeigt nur die Fünf-Punkte-Zusammenfassung und daraus ableitbare Bereiche.

Fehler 7: Unterschiedliche Boxplot-Konventionen mischen

In diesem Thema reichen die Antennen bis Minimum und Maximum. Andere Konventionen dürfen nicht unbemerkt hineingemischt werden.

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22. Das Wichtigste auf einen Blick

Fünf-Punkte-Zusammenfassung:

$$\boxed{ x_{\min},\ Q_1,\ Q_2,\ Q_3,\ x_{\max} }$$

Boxplot:

• linkes Ende: Minimum,
• linke Boxkante: $Q_1$,
• Linie in der Box: Median $Q_2$,
• rechte Boxkante: $Q_3$,

Spannweite:

$$\boxed{ R=x_{\max}-x_{\min} }$$

Interquartilsabstand:

$$\boxed{ IQR=Q_3-Q_1 }$$

Beim Vergleichen von Boxplots:

• immer dieselbe Skala beachten,
• Median vergleichen,
• Spannweite vergleichen,
• Boxbreite beziehungsweise Interquartilsabstand vergleichen,
• nur Aussagen treffen, die aus dem Boxplot tatsächlich folgen.