Statistische Darstellungen beurteilen
Kompetenzcode: MG 7.7
Diagramme und statistische Aussagen sollen Informationen verständlich machen.
Sie können aber auch einen falschen Eindruck erzeugen.
Darum reicht es nicht, ein Diagramm nur abzulesen. Du musst auch prüfen:
- Ist die Skala geeignet?
- Beginnt eine Achse an einer sinnvollen Stelle?
- Sind Abstände gleichmäßig?
- Werden Flächen oder Bilder verzerrt?
- Passt eine Aussage wirklich zu den Daten?
- Ist die Formulierung genau genug?
In diesem Kapitel lernst du,
- ungeeignete Skalierungen zu erkennen,
- irreführende Darstellungen zu erkennen,
- Aussagen anhand von Daten zu prüfen,
- statistische Aussagen angemessen zu formulieren.
1. Diagramme können täuschen
Zwei Diagramme können dieselben Daten zeigen und trotzdem sehr unterschiedlich wirken.
Beispiel:
Der tatsächliche Anstieg beträgt:
Relativ zum Ausgangswert:
Wird die Achse von bis gezeichnet, wirkt der Unterschied klein.
Wird nur der Bereich von bis gezeigt, wirkt derselbe Unterschied sehr groß.
Die Daten sind gleich – die Wirkung ist verschieden.
2. Ungeeignete Skalierung erkennen
Eine Skala ist problematisch, wenn sie Unterschiede unnötig vergrößert, verkleinert oder schwer vergleichbar macht.
Achte besonders auf:
- abgeschnittene Achsen,
- ungleichmäßige Abstände,
- wechselnde Schrittweiten,
- schlecht sichtbare Einheiten,
- unterschiedliche Skalen beim Vergleich zweier Diagramme.
3. Abgeschnittene Achse
Ein Säulendiagramm zeigt:
Wenn die senkrechte Achse erst bei
beginnt, wirken die Säulen stark unterschiedlich.
Tatsächlich liegen die Werte aber sehr nahe beieinander.
Eine abgeschnittene Achse ist nicht automatisch falsch.
Sie muss aber deutlich erkennbar sein und darf nicht dazu verwendet werden, Unterschiede größer erscheinen zu lassen, als sie sind.
Tipp: Lies immer zuerst den kleinsten und größten Achsenwert.
4. Muss eine Achse immer bei null beginnen?
Nein.
Bei einem Liniendiagramm mit Temperaturen zwischen
und
kann ein enger Ausschnitt sinnvoll sein.
Bei Säulen- und Balkendiagrammen ist eine abgeschnittene Wertachse dagegen besonders heikel, weil die sichtbare Länge der Säule direkt verglichen wird.
Darum gilt:
Eine nicht bei null beginnende Achse ist nicht automatisch falsch. Entscheidend ist, ob sie klar erkennbar und für die Fragestellung angemessen ist.
5. Ungleichmäßige Achsenabstände
Angenommen, eine Achse ist beschriftet mit:
Wenn diese Zahlen im Diagramm in gleichen Bildabständen stehen, ist die Skala nicht gleichmäßig.
Denn:
ist ein Sprung von , während die anderen Schritte nur betragen.
Das verzerrt den Eindruck.
Eine lineare Achse braucht gleich große Bildabstände für gleich große Zahlenabstände.
6. Unterschiedliche Skalen beim Vergleich
Zwei Diagramme zeigen zwei Klassen.
Diagramm A verwendet:
Diagramm B verwendet:
Die Formen dürfen dann nicht einfach anhand ihrer Höhe verglichen werden.
Vor einem Vergleich musst du prüfen:
Verwenden beide Diagramme dieselbe Skala?
Wenn nicht, solltest du zuerst die tatsächlichen Zahlen vergleichen.
7. Irreführende Darstellung erkennen
Nicht nur Achsen können täuschen.
Auch Bilder, Flächen, Perspektive oder bewusst ausgewählte Daten können einen falschen Eindruck erzeugen.
Typische Warnzeichen:
- vergrößerte Symbole statt einfacher Balken,
- dreidimensionale Säulen,
- unvollständiger Zeitraum,
- fehlende Kategorien,
- Prozentwerte ohne Bezugsgröße,
- unterschiedliche Diagrammgrößen,
- Aussagen ohne Gesamtzahl.
8. Piktogramme können Flächen verzerren
Angenommen, ein Symbol soll einen Wert darstellen.
Für einen doppelt so großen Wert wird das Symbol in Breite und Höhe verdoppelt.
Dann ist seine Fläche:
mal so groß.
Der Wert ist aber nur doppelt so groß.
Das Bild wirkt dadurch stärker, als es mathematisch gerechtfertigt ist.
9. 3D-Diagramme
Dreidimensionale Säulen wirken oft eindrucksvoll.
Sie können aber das Ablesen erschweren.
Durch Perspektive können:
- vordere Säulen größer wirken,
- hintere Säulen verdeckt werden,
- Höhen schwerer vergleichbar sein.
Für einfache Datenvergleiche ist ein klares zweidimensionales Diagramm oft besser.
10. Ausgewählter Zeitraum
Aussage:
„Die Besucherzahlen steigen stark.“
Gezeigt werden nur:
Vielleicht lauten die früheren Werte aber:
Dann wäre die Aussage über einen langfristigen starken Anstieg nicht gerechtfertigt.
Merke: Prüfe, welcher Zeitraum gezeigt wird und welcher fehlt.
11. Fehlende Bezugsgröße
Aussage:
„50 % mehr Schülerinnen und Schüler nehmen teil.“
Ohne Ausgangswert ist die Aussage unvollständig.
Denn:
Von
auf
ist ebenfalls eine Steigerung um
Von
auf
auch.
Die Prozentzahl allein sagt nichts über die absolute Größe.
12. Aussage anhand vorliegender Daten prüfen
Eine statistische Aussage muss sich direkt aus den vorhandenen Daten ergeben.
Gegeben:
Aussage:
„Die Verkäufe steigen jeden Monat.“
Prüfung:
ist ein Anstieg.
Aber:
ist ein Rückgang.
Die Aussage ist daher:
13. Aussagen genau zerlegen
Bei einer Aussage solltest du Schlüsselwörter beachten.
Beispiele:
- „immer“
- „alle“
- „mehr als“
- „mindestens“
- „höchstens“
- „doppelt so viel“
- „im Durchschnitt“
- „mehrheitlich“
Ein einziges Wort kann entscheiden, ob eine Aussage stimmt.
14. Beispiel mit „mindestens“
Gegeben sind Testergebnisse:
Aussage:
„Mindestens drei Personen haben Punkte erreicht.“
Werte mit mindestens :
Das sind:
Personen.
Da
ist die Aussage richtig.
15. Beispiel mit Prozenten
In einer Klasse fahren:
von
Kindern mit dem Bus.
Relative Häufigkeit:
Aussage:
„Mehr als die Hälfte fährt mit dem Bus.“
Da
ist die Aussage richtig.
Aussage:
„Zwei Drittel fahren mit dem Bus.“
Zwei Drittel sind ungefähr:
Das passt nicht zu .
Die Aussage ist falsch.
16. Korrelation nicht mit Ursache verwechseln
Wenn zwei Größen gleichzeitig steigen, bedeutet das nicht automatisch, dass die eine die andere verursacht.
Beispiel:
Im Sommer steigen:
- Eisverkäufe,
- Besuche im Freibad.
Daraus folgt nicht:
Mehr Eis verursacht mehr Freibadbesuche.
Eine gemeinsame Ursache kann die höhere Temperatur sein.
Für die Unterstufe genügt:
Ein gemeinsamer Verlauf beweist noch keine Ursache.
17. Datenmenge beachten
Aussage:
„90 % mögen das neue Angebot.“
Wenn nur
Personen gefragt wurden, bedeutet das:
Personen.
Bei
Befragten wären es:
Personen.
Eine Prozentzahl wirkt oft beeindruckend, aber die Gesamtzahl ist wichtig.
18. Stichprobe und Grundgesamtheit vorsichtig unterscheiden
Wenn nur eine kleine Gruppe befragt wird, darf man nicht automatisch eine Aussage über alle Menschen treffen.
Beispiel:
Zwanzig Schülerinnen und Schüler einer Klasse werden befragt.
Daraus folgt nicht sicher:
„Alle Jugendlichen in Österreich denken so.“
Die Daten beziehen sich zunächst nur auf die untersuchte Gruppe.
19. Statistische Aussage angemessen formulieren
Eine gute statistische Aussage nennt:
- die betrachtete Gruppe,
- die untersuchte Größe,
- den konkreten Wert oder Anteil,
- gegebenenfalls den Zeitraum,
- nur Schlussfolgerungen, die durch die Daten gestützt werden.
20. Beispiel für eine unangemessene Aussage
Daten:
der befragten Kinder fahren mit dem Bus.
Zu stark wäre:
„Kinder fahren meistens mit dem Bus.“
Denn die Daten stammen nur aus einer bestimmten Gruppe.
Besser:
„In der befragten Gruppe fahren der Kinder mit dem Bus.“
Noch konkreter:
„Von den befragten Kindern fahren mit dem Bus. Das entspricht .“
21. Vorsicht mit „typisch“
Angenommen:
Mittelwert:
Median:
Wenn ein Ausreißer ist, kann der Mittelwert einen untypischen Eindruck erzeugen.
Eine angemessene Aussage könnte lauten:
„Der Median beträgt , während der Mittelwert durch den hohen Einzelwert auf steigt.“
22. Zwei korrekte Aussagen können unterschiedlich wirken
Daten:
von
Personen wählen A.
Dann sind beide Aussagen richtig:
„40 % wählen A.“
„60 % wählen A nicht.“
Sie betonen aber unterschiedliche Seiten derselben Daten.
Deshalb ist es sinnvoll zu fragen:
Welche Information wird hervorgehoben?
23. Checkliste zum Beurteilen
Wenn du ein Diagramm oder eine statistische Aussage beurteilst, prüfe:
Darstellung
- Titel?
- Achsen?
- Einheit?
- Skala?
- Achsenbeginn?
- gleichmäßige Abstände?
Daten
- Gesamtzahl?
- Zeitraum?
- alle wichtigen Kategorien?
- absolute oder relative Werte?
Aussage
- stimmt sie rechnerisch?
- ist sie zu allgemein?
- wird Ursache behauptet, obwohl nur ein Zusammenhang gezeigt wird?
- fehlen wichtige Einschränkungen?
24. Typische Fehler
Fehler 1: Nur auf die Form des Diagramms schauen
Zuerst Skala und Zahlen prüfen.
Fehler 2: Nicht bei null = automatisch falsch
Eine abgeschnittene Achse kann sinnvoll sein. Sie muss aber transparent und angemessen verwendet werden.
Fehler 3: Prozentwerte ohne Gesamtzahl bewerten
Der Anteil braucht einen Bezugswert.
Fehler 4: Von einer kleinen Gruppe auf alle schließen
Die untersuchte Gruppe begrenzt die Aussage.
Fehler 5: „Steigt insgesamt“ mit „steigt immer“ verwechseln
Ein Gesamtanstieg kann Zwischenrückgänge enthalten.
Fehler 6: Gleichzeitige Veränderung als Ursache deuten
Ein Zusammenhang beweist keine Ursache.
Fehler 7: Aussage stärker formulieren als die Daten erlauben
Statistische Sprache sollte genau und vorsichtig sein.
25. Das Wichtigste auf einen Blick
Eine statistische Darstellung ist nicht nur zu lesen, sondern auch zu prüfen.
Bei Diagrammen:
- Skala kontrollieren,
- Achsenbeginn beachten,
- gleiche Abstände prüfen,
- Verzerrungen durch Flächen oder Perspektive erkennen.
Bei Aussagen:
- Zahlen nachrechnen,
- Begriffe wie „immer“, „mindestens“ oder „mehrheitlich“ genau prüfen,
- Bezugsgruppe und Gesamtzahl beachten,
- nicht über die vorhandenen Daten hinaus verallgemeinern.
Eine gute statistische Aussage ist: