Zufallsversuche und Ergebnisse
Kompetenzcode: MG 8.1
Viele Vorgänge kann man genau vorhersagen.
Wenn du einen Stein loslässt, fällt er nach unten. Wenn du rechnest, erhältst du immer .
Bei anderen Vorgängen weißt du vorher nicht sicher, welches Ergebnis eintreten wird.
Zum Beispiel:
- eine Münze werfen,
- einen Würfel werfen,
- eine Kugel aus einem undurchsichtigen Beutel ziehen,
- ein Glücksrad drehen.
Solche Versuche nennt man Zufallsversuche.
In diesem Kapitel lernst du,
- einen Zufallsversuch zu erkennen,
- mögliche Ergebnisse eines Zufallsversuchs anzugeben,
- einen Zufallsversuch mehrfach durchzuführen und die Ergebnisse sauber zu dokumentieren.
1. Was ist ein Zufallsversuch?
Ein Zufallsversuch ist ein Versuch,
- der unter festgelegten Bedingungen durchgeführt wird,
- dessen mögliches Ergebnis bekannt oder beschreibbar ist,
- bei dem vor der Durchführung nicht sicher feststeht, welches Ergebnis tatsächlich eintritt.
Beispiel:
Wir werfen einen normalen Würfel einmal und notieren die Augenzahl.
Mögliche Ergebnisse sind:
Vor dem Wurf wissen wir aber nicht sicher, welche Zahl oben liegen wird.
Damit ist der Würfelwurf ein Zufallsversuch.
2. Was ist kein Zufallsversuch?
Nicht jeder Versuch ist zufällig.
Beispiel:
Wir legen einen roten Baustein in eine Schachtel und nehmen genau diesen Baustein wieder heraus.
Das Ergebnis ist vorher sicher bekannt.
Oder:
Wir berechnen .
Das Ergebnis ist immer:
Solche Vorgänge sind keine Zufallsversuche.
Merke: Bei einem Zufallsversuch ist das konkrete Ergebnis vorher nicht sicher bekannt.
3. Gleiche Bedingungen sind wichtig
Wenn ein Zufallsversuch wiederholt wird, sollten die Bedingungen möglichst gleich bleiben.
Beispiel Münzwurf:
- dieselbe Münze,
- dieselbe Regel zum Werfen,
- jedes Mal genau ein Wurf,
- Ergebnis immer als „Kopf“ oder „Zahl“ notieren.
Warum?
Nur dann können wir die Wiederholungen sinnvoll miteinander vergleichen.
4. Zufallsversuch erkennen
Prüfe bei einer Situation diese drei Fragen:
Frage 1
Kann der Versuch unter gleichen Bedingungen wiederholt werden?
Frage 2
Gibt es mehrere mögliche Ergebnisse?
Frage 3
Ist vor der Durchführung offen, welches Ergebnis tatsächlich eintritt?
Wenn alle drei Fragen mit „ja“ beantwortet werden können, liegt typischerweise ein Zufallsversuch vor.
5. Beispiel: Münzwurf
Versuch:
Eine Münze wird einmal geworfen.
Mögliche Ergebnisse:
oder
Vor dem Wurf steht nicht sicher fest, welches Ergebnis eintritt.
Also:
6. Beispiel: Würfelwurf
Versuch:
Ein sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen.
Mögliche Ergebnisse:
Das tatsächlich eintretende Ergebnis ist vor dem Wurf unbekannt.
Also handelt es sich um einen Zufallsversuch.
7. Beispiel: Ziehen aus einem Beutel
In einem undurchsichtigen Beutel liegen:
- eine rote Kugel,
- eine blaue Kugel,
- eine grüne Kugel.
Es wird eine Kugel gezogen, ohne hineinzusehen.
Mögliche Farbergebnisse:
Vor dem Ziehen weiß man nicht sicher, welche Farbe gezogen wird.
Damit liegt ein Zufallsversuch vor.
8. Mögliche Ergebnisse angeben
Ein Ergebnis ist das, was bei einer einzelnen Durchführung tatsächlich eintritt.
Bei einem Würfelwurf kann zum Beispiel das Ergebnis
eintreten.
Die möglichen Ergebnisse sind alle Ergebnisse, die bei diesem Versuch grundsätzlich auftreten können.
Beim normalen Würfelwurf:
9. Ergebnisse vollständig angeben
Wichtig ist, dass alle möglichen Ergebnisse erfasst werden.
Beispiel:
Eine Münze wird einmal geworfen.
Vollständig:
Unvollständig wäre:
Denn auch „Zahl“ kann auftreten.
10. Ergebnisse passend zur Fragestellung wählen
Die möglichen Ergebnisse hängen davon ab, was beobachtet wird.
Beispiel Würfelwurf:
Beobachtung 1: genaue Augenzahl
Mögliche Ergebnisse:
Beobachtung 2: gerade oder ungerade
Mögliche Ergebnisse:
Der physikalische Versuch ist derselbe, aber die dokumentierten Ergebnisse hängen von der Fragestellung ab.
11. Ergebnisse müssen sich eindeutig unterscheiden
Wenn du Ergebnisse notierst, sollte bei jeder Durchführung klar sein, welches Ergebnis eingetreten ist.
Bei einem Glücksrad mit drei Farben sind zum Beispiel sinnvoll:
Ungünstig wären unscharfe Bezeichnungen wie:
- „hell“,
- „schön“,
- „fast rot“,
wenn vorher nicht genau festgelegt wurde, was damit gemeint ist.
12. Mögliche und tatsächliche Ergebnisse unterscheiden
Beim Würfeln sind
die möglichen Ergebnisse.
Wenn tatsächlich
gewürfelt wird, ist das eingetretene Ergebnis dieser Durchführung.
Merke: Mögliches Ergebnis = kann eintreten.
Tatsächliches Ergebnis = ist bei dieser Durchführung eingetreten.
13. Zufallsversuch wiederholt durchführen
Ein Zufallsversuch kann mehrfach durchgeführt werden.
Beispiel:
Eine Münze wird -mal geworfen.
Eine mögliche Ergebnisfolge lautet:
Dabei steht:
und
14. Versuchsnummern verwenden
Bei vielen Wiederholungen hilft eine Tabelle.
So ist klar:
- wie oft der Versuch durchgeführt wurde,
- in welcher Reihenfolge die Ergebnisse auftraten,
- welches Ergebnis zu welchem Versuch gehört.
15. Ergebnisse sofort dokumentieren
Das Ergebnis sollte direkt nach jeder Durchführung notiert werden.
Warum?
Wenn du erst nach vielen Würfen alles aus dem Gedächtnis aufschreibst, können Ergebnisse vergessen oder vertauscht werden.
Eine saubere Versuchsdokumentation ist deshalb Teil des Zufallsversuchs.
16. Strichliste als zusätzliche Dokumentation
Wenn dich vor allem interessiert, wie oft Ergebnisse auftreten, kannst du zusätzlich eine Strichliste führen.
Beispiel bei Münzwürfen:
Die Reihenfolge der einzelnen Würfe ist in einer Strichliste nicht mehr sichtbar.
Darum haben beide Formen unterschiedliche Vorteile:
- Versuchstabelle: Reihenfolge sichtbar,
- Strichliste: Häufigkeiten schnell sichtbar.
17. Anzahl der Durchführungen kontrollieren
Wenn ein Versuch
Mal durchgeführt wurde, müssen auch
Ergebnisse dokumentiert sein.
Beispiel:
Dann müssen insgesamt Einträge vorhanden sein.
Wenn eine Strichliste verwendet wird, müssen die gezählten Häufigkeiten zusammen ebenfalls ergeben.
18. Zufall bedeutet nicht „ohne Regeln“
Ein Zufallsversuch hat klare Bedingungen und klar beschreibbare Ergebnisse.
Zufällig ist nur, welches der möglichen Ergebnisse bei einer einzelnen Durchführung eintritt.
Das unterscheidet Zufall von einem ungeordneten oder schlecht geplanten Versuch.
19. Zufall bedeutet nicht „jedes Ergebnis muss gleich oft auftreten“
Wenn eine Münze zehnmal geworfen wird, muss nicht genau fünfmal Kopf und fünfmal Zahl auftreten.
Zum Beispiel kann eine Folge lauten:
Hier tritt Kopf siebenmal und Zahl dreimal auf.
Das ist möglich.
Eine einzelne kurze Versuchsreihe muss nicht „perfekt ausgeglichen“ sein.
Die Frage, wie sich Häufigkeiten bei vielen Wiederholungen verhalten, wird in späteren Themen genauer untersucht.
20. Typische Fehler
Fehler 1: Zufallsversuch mit „beliebigem Versuch“ verwechseln
Ein Versuch ist nicht zufällig, wenn das Ergebnis vorher sicher feststeht.
Fehler 2: Mögliche Ergebnisse unvollständig angeben
Alle grundsätzlich möglichen Ergebnisse müssen berücksichtigt werden.
Fehler 3: Beobachtung nicht festlegen
Beim Würfelwurf kann entweder die genaue Augenzahl oder zum Beispiel nur „gerade/ungerade“ beobachtet werden.
Fehler 4: Mögliche und tatsächliche Ergebnisse verwechseln
Die Liste aller Möglichkeiten ist nicht dasselbe wie das Ergebnis eines einzelnen Versuchs.
Fehler 5: Ergebnisse erst später aus dem Gedächtnis notieren
Das kann die Versuchsdaten verfälschen.
Fehler 6: Glauben, kurze Versuchsreihen müssten gleichmäßig sein
Zufall kann auch ungleichmäßige kurze Folgen erzeugen.
21. Das Wichtigste auf einen Blick
Ein Zufallsversuch:
- kann unter festgelegten Bedingungen durchgeführt werden,
- besitzt beschreibbare mögliche Ergebnisse,
- hat ein vor der Durchführung nicht sicher bekanntes tatsächliches Ergebnis.
Ein mögliches Ergebnis ist etwas, das eintreten kann.
Ein tatsächliches Ergebnis ist etwas, das bei einer Durchführung eingetreten ist.
Bei Wiederholungen:
- Bedingungen gleich halten,
- jeden Versuch durchführen,
- Ergebnis sofort notieren,
- Anzahl der Einträge kontrollieren.
Eine saubere Dokumentation ist die Grundlage für die spätere Untersuchung von Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten.