Grundraum und Ereignisse

Kompetenzcode: MG 8.2

Bei einem Zufallsversuch gibt es mehrere mögliche Ergebnisse.

Um diese übersichtlich zu beschreiben, verwendet man in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Mengen.

Die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels sind:

• der Grundraum $\Omega$,
• ein Ereignis $E$,
• das sichere Ereignis,
• das unmögliche Ereignis.

In diesem Kapitel lernst du,

• den Grundraum eines Zufallsversuchs anzugeben,
• ein Ereignis als Teilmenge des Grundraums zu beschreiben,
• sichere Ereignisse zu erkennen,
• unmögliche Ereignisse zu erkennen.

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1. Vom Zufallsversuch zum Grundraum

Betrachten wir einen normalen sechsseitigen Würfel.

Der Zufallsversuch lautet:

Ein Würfel wird einmal geworfen und die Augenzahl wird notiert.

Mögliche Ergebnisse sind:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6.$$

Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Grundraum.

Wir schreiben:

$$\boxed{ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} }$$

Das Zeichen

$$\Omega$$

spricht man „Omega“.

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2. Grundraum eines Münzwurfs

Zufallsversuch:

Eine Münze wird einmal geworfen.

Mögliche Ergebnisse:

• Kopf,
• Zahl.

Grundraum:

$$\boxed{ \Omega=\{\text{Kopf},\text{Zahl}\} }$$

Der Grundraum enthält jedes mögliche Ergebnis genau einmal.

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3. Grundraum beim Ziehen einer Kugel

In einem undurchsichtigen Beutel liegen rote, blaue und grüne Kugeln.

Beobachtet wird nur die Farbe der gezogenen Kugel.

Dann lautet der Grundraum:

$$\boxed{ \Omega=\{\text{rot},\text{blau},\text{grün}\} }$$

Wie viele Kugeln von jeder Farbe im Beutel liegen, ist für die Liste der möglichen Farbergebnisse zunächst nicht entscheidend.

Entscheidend ist:

Welche Ergebnisse können bei der gewählten Beobachtung auftreten?

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4. Der Grundraum hängt von der Fragestellung ab

Beim Würfelwurf kann man Verschiedenes beobachten.

Beobachtung: genaue Augenzahl

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Beobachtung: gerade oder ungerade Augenzahl

$$\Omega=\{\text{gerade},\text{ungerade}\}.$$

Der physikalische Versuch ist derselbe.

Aber der Grundraum hängt davon ab, welches Ergebnismerkmal festgelegt wurde.

Merke: Vor dem Angeben von $\Omega$ muss klar sein, was beobachtet wird.

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5. Grundraum vollständig angeben

Ein Grundraum muss alle möglichen Ergebnisse enthalten.

Beim normalen Würfelwurf wäre

$$\{1,2,3,4,5\}$$

unvollständig, weil auch

$$6$$

auftreten kann.

Richtig:

$$\boxed{ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} }$$

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6. Was ist ein Ereignis?

Ein Ereignis fasst ein oder mehrere Ergebnisse zusammen, die eine bestimmte Bedingung erfüllen.

Beim Würfelwurf sei das Ereignis:

„Es fällt eine gerade Zahl.“

Die passenden Ergebnisse sind:

$$2,\ 4,\ 6.$$

Wir schreiben:

$$\boxed{ E=\{2,4,6\} }$$

Alle Ergebnisse von $E$ gehören auch zum Grundraum.

Darum gilt:

$$\boxed{E\subseteq\Omega}$$

Man sagt:

$E$ ist eine Teilmenge von $\Omega$.

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7. Ein einzelnes Ergebnis kann ein Ereignis bilden

Beim Würfelwurf sei:

$E$: „Es fällt eine 5.“

Dann:

$$\boxed{E=\{5\}}.$$

Auch eine Menge mit nur einem Ergebnis ist ein Ereignis.

Das tatsächlich eintretende Ergebnis eines einzelnen Wurfs kann also gleichzeitig zu einem Ereignis gehören.

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8. Ereignis mit mehreren Ergebnissen

Grundraum:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Ereignis:

$A$: „Die Augenzahl ist größer als 3.“

Dann gehören dazu:

$$4,\ 5,\ 6.$$

Also:

$$\boxed{ A=\{4,5,6\} }$$

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9. Ereignis aus einer Bedingung bestimmen

Gegeben:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Ereignis:

$B$: „Die Augenzahl ist kleiner als 4.“

Wir prüfen jedes Ergebnis:

$$1<4,$$ $$2<4,$$ $$3<4.$$

Aber:

$$4\not<4,$$ $$5\not<4,$$ $$6\not<4.$$

Daher:

$$\boxed{ B=\{1,2,3\} }$$

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10. Ereignis und Ergebnis nicht verwechseln

Beim Würfeln kann das tatsächliche Ergebnis eines Wurfs zum Beispiel

$$4$$

sein.

Ein Ereignis könnte dagegen lauten:

„gerade Zahl“

mit

$$E=\{2,4,6\}.$$

Das Ergebnis

$$4$$

liegt dann im Ereignis $E$.

Man kann schreiben:

$$4\in E.$$

Das Zeichen

$$\in$$

bedeutet:

ist Element von.

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11. Ein Ereignis kann auch sehr groß sein

Grundraum:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Ereignis:

„Die gewürfelte Zahl ist kleiner als 7.“

Alle möglichen Ergebnisse erfüllen diese Bedingung.

Also:

$$E=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Damit:

$$E=\Omega.$$

Das führt zum sicheren Ereignis.

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12. Sicheres Ereignis erkennen

Ein sicheres Ereignis tritt bei jeder möglichen Durchführung ein.

Es enthält deshalb alle Ergebnisse des Grundraums.

Mathematisch:

$$\boxed{ E_{\text{sicher}}=\Omega }$$

Beispiel beim normalen Würfel:

„Es fällt eine Zahl von 1 bis 6.“

Das tritt sicher ein.

Also:

$$E_{\text{sicher}} = \{1,2,3,4,5,6\} = \Omega.$$

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13. Weitere sichere Ereignisse

Grundraum:

$$\Omega=\{\text{Kopf},\text{Zahl}\}.$$

Ereignis:

„Es fällt Kopf oder Zahl.“

Das umfasst alle möglichen Ergebnisse.

Also:

$$E=\Omega.$$

Das Ereignis ist sicher.

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14. Sicher bedeutet nicht „wahrscheinlich“

Die Wörter „sicher“ und „wahrscheinlich“ bedeuten in der Mathematik nicht dasselbe.

Ein sicheres Ereignis tritt immer ein.

Beispiel Würfel:

„Die Augenzahl ist kleiner als 7.“

Das ist sicher.

Dagegen:

„Es fällt eine gerade Zahl.“

ist möglich, aber nicht sicher.

Denn auch

$$1,\ 3,\ 5$$

können auftreten.

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15. Unmögliches Ereignis erkennen

Ein unmögliches Ereignis kann bei dem Zufallsversuch nicht eintreten.

Es enthält kein einziges Ergebnis des Grundraums.

Dafür verwendet man die leere Menge:

$$\boxed{ \varnothing }$$

Beim normalen Würfel sei:

„Es fällt eine 8.“

Da

$$8\notin\Omega,$$

enthält dieses Ereignis kein mögliches Ergebnis.

Also:

$$\boxed{ E_{\text{unmöglich}}=\varnothing }$$

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16. Die leere Menge

Die Schreibweise

$$\varnothing$$

bedeutet:

Menge ohne Elemente.

Wichtig:

$$\varnothing$$

ist nicht dasselbe wie

$$\{0\}.$$

Denn

$$\{0\}$$

enthält ein Element, nämlich die Zahl $0$.

Die leere Menge enthält gar kein Element.

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17. Beispiel für ein unmögliches Ereignis

Grundraum:

$$\Omega=\{\text{Kopf},\text{Zahl}\}.$$

Ereignis:

„Die Münze zeigt beim einmaligen Wurf gleichzeitig Kopf und Zahl.“

Bei unserem einfachen Münzmodell ist das nicht möglich.

Also:

$$\boxed{ E=\varnothing }$$

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18. Sicher, möglich oder unmöglich?

Beim Würfelwurf mit

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$$

betrachten wir drei Ereignisse.

Ereignis A

„Zahl kleiner als 7“

$$A=\Omega.$$

Also:

$$\boxed{\text{sicher}}$$

Ereignis B

„gerade Zahl“

$$B=\{2,4,6\}.$$

Das Ereignis ist möglich, aber nicht sicher.

Ereignis C

„Zahl größer als 10“

$$C=\varnothing.$$

Also:

$$\boxed{\text{unmöglich}}$$

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19. Ereignisse als Mengen prüfen

Gegeben:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Welche der folgenden Mengen können Ereignisse dieses Zufallsversuchs beschreiben?

A

$$\{1,3,5\}$$

Ja, denn alle Elemente liegen in $\Omega$.

B

$$\{2,4,8\}$$

Nein, denn

$$8\notin\Omega.$$

C

$$\varnothing$$

Ja.

Die leere Menge ist das unmögliche Ereignis und damit ebenfalls eine Teilmenge von $\Omega$.

D

$$\Omega$$

Ja.

Der gesamte Grundraum ist das sichere Ereignis.

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20. Ereignis verbal und als Menge beschreiben

Du solltest zwischen Sprache und Mengenschreibweise wechseln können.

Beispiel:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Gegeben:

$$E=\{4,5,6\}.$$

Eine passende verbale Beschreibung ist:

„Die Augenzahl ist größer als 3.“

Oder umgekehrt:

„Es fällt eine ungerade Zahl.“

Dann:

$$E=\{1,3,5\}.$$

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21. Typische Fehler

Fehler 1: Grundraum unvollständig angeben

Der Grundraum enthält alle möglichen Ergebnisse.

Fehler 2: Ergebnis und Ereignis verwechseln

Ein Ergebnis ist ein einzelner Versuchsausgang.

Ein Ereignis ist eine Menge von Ergebnissen.

Fehler 3: Ereignis enthält Werte außerhalb von $\Omega$

Ein Ereignis muss eine Teilmenge des Grundraums sein:

$$E\subseteq\Omega.$$

Fehler 4: Sicheres Ereignis nur als „sehr wahrscheinlich“ verstehen

Sicher bedeutet:

$$E=\Omega.$$

Es tritt immer ein.

Fehler 5: Unmögliches Ereignis mit $\{0\}$ verwechseln

Unmögliches Ereignis:

$$\varnothing.$$

Fehler 6: Beobachtungsregel vergessen

Der Grundraum hängt davon ab, was beim Zufallsversuch tatsächlich notiert wird.

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22. Das Wichtigste auf einen Blick

Grundraum:

$$\boxed{ \Omega=\text{Menge aller möglichen Ergebnisse} }$$

Ereignis:

$$\boxed{ E\subseteq\Omega }$$

Ein Ereignis enthält diejenigen Ergebnisse, die eine bestimmte Bedingung erfüllen.

Sicheres Ereignis:

$$\boxed{ E_{\text{sicher}}=\Omega }$$

Unmögliches Ereignis:

$$\boxed{ E_{\text{unmöglich}}=\varnothing }$$

Beim Arbeiten mit Grundraum und Ereignissen:

1. Zufallsversuch genau beschreiben,
2. Beobachtungsregel festlegen,
3. Grundraum vollständig angeben,
4. passende Ergebnisse für das Ereignis auswählen,
5. prüfen, ob das Ereignis sicher, möglich oder unmöglich ist.