Absolute und relative Häufigkeit

Kompetenzcode: MG 8.3

Wenn ein Zufallsversuch oft wiederholt wird, treten die möglichen Ergebnisse unterschiedlich oft auf.

Beispiel:

Eine Münze wird

$$20$$

Mal geworfen.

Dabei tritt „Kopf“

$$12$$

Mal auf.

Dann können wir zwei Fragen stellen:

1. Wie oft ist Kopf aufgetreten?
2. Welcher Anteil aller Würfe war Kopf?

Dazu verwenden wir:

• die absolute Häufigkeit,
• die relative Häufigkeit.

In diesem Kapitel lernst du,

• die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses zu bestimmen,
• die relative Häufigkeit eines Ergebnisses zu bestimmen,
• relative Häufigkeiten sinnvoll miteinander zu vergleichen.

---

1. Ausgangspunkt: eine Versuchsreihe

Eine Münze wird zehnmal geworfen.

Die Ergebnisse lauten:

$$K,\ Z,\ K,\ K,\ Z,\ K,\ Z,\ K,\ K,\ Z.$$

Dabei steht:

$$K=\text{Kopf}$$

und

$$Z=\text{Zahl}.$$

Wir zählen:

• Kopf tritt $6$-mal auf,
• Zahl tritt $4$-mal auf.

Die Gesamtzahl der Würfe ist:

$$n=10.$$

---

2. Absolute Häufigkeit eines Ergebnisses bestimmen

Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ergebnis in einer Versuchsreihe tatsächlich aufgetreten ist.

Für „Kopf“ gilt:

$$\boxed{h(K)=6}.$$

Für „Zahl“ gilt:

$$\boxed{h(Z)=4}.$$

Die absolute Häufigkeit ist also eine Anzahl.

---

3. Absolute Häufigkeit mit einer Strichliste

Bei vielen Wiederholungen hilft eine Strichliste.

Beispiel:

Die Strichliste verhindert, dass ein Ergebnis beim Zählen übersehen oder doppelt gezählt wird.

---

4. Kontrolle der absoluten Häufigkeiten

Wenn die möglichen Ergebnisse eines Versuchs vollständig erfasst wurden, müssen die absoluten Häufigkeiten zusammen die Zahl aller Durchführungen ergeben.

Hier:

$$6+4=10.$$

Also:

$$\boxed{ h(K)+h(Z)=n }.$$

Beim Münzwurf mit den beiden möglichen Ergebnissen Kopf und Zahl können wir die Kontrolle vollständig ausschreiben:

$$\boxed{ h(K)+h(Z)=n }.$$

---

5. Beispiel mit einem Würfel

Ein Würfel wird zwölfmal geworfen.

Ergebnisfolge:

$$1,\ 3,\ 6,\ 2,\ 3,\ 5,\ 3,\ 4,\ 6,\ 3,\ 2,\ 1.$$

Gesucht ist die absolute Häufigkeit des Ergebnisses $3$.

Wir zählen:

$$3$$

tritt viermal auf.

Also:

$$\boxed{h(3)=4}.$$

---

6. Absolute Häufigkeit ist nicht der Ergebniswert

Beim Würfelwurf kann gelten:

$$h(3)=4.$$

Das bedeutet nicht:

$$3=4.$$

Es bedeutet:

Das Ergebnis $3$ ist viermal aufgetreten.

Ergebniswert und Häufigkeit sind zwei verschiedene Dinge.

---

7. Relative Häufigkeit eines Ergebnisses bestimmen

Die absolute Häufigkeit sagt:

Wie oft?

Die relative Häufigkeit sagt:

Welcher Anteil aller Versuche?

Dazu teilen wir die absolute Häufigkeit durch die Gesamtzahl der Versuche:

$$\boxed{ r=\frac{h}{n} }.$$

Dabei ist:

• $h$ die absolute Häufigkeit,
• $n$ die Zahl aller Durchführungen,
• $r$ die relative Häufigkeit.

---

8. Beispiel zur relativen Häufigkeit

In zehn Münzwürfen tritt Kopf sechsmal auf.

Also:

$$h(K)=6$$

und

$$n=10.$$

Damit:

$$r(K) = \frac{6}{10} = 0{,}6.$$

Als Prozentzahl:

$$0{,}6=60\%.$$

Also:

$$\boxed{ r(K)=0{,}6=60\% }.$$

Das bedeutet:

In dieser Versuchsreihe waren $60\%$ der Würfe Kopf.

---

9. Relative Häufigkeit für Zahl

Für Zahl gilt:

$$h(Z)=4.$$

Damit:

$$r(Z) = \frac{4}{10} = 0{,}4 = 40\%.$$

Kontrolle:

$$60\%+40\%=100\%.$$

---

10. Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl

Eine relative Häufigkeit kann auf verschiedene Arten geschrieben werden.

Beispiel:

$$\frac{3}{5} = 0{,}6 = 60\%.$$

Alle drei Schreibweisen beschreiben denselben Anteil.

Merke: Relative Häufigkeit ist ein Anteil und liegt zwischen $0$ und $1$, beziehungsweise zwischen $0\%$ und $100\%$.

---

11. Kontrolle der relativen Häufigkeiten

Beim Münzwurf mit den beiden möglichen Ergebnissen Kopf und Zahl gilt:

$$\boxed{ r(K)+r(Z)=1 }.$$

Als Prozentwerte:

$$\boxed{ r(K)+r(Z)=100\% }.$$

Beim Münzwurf:

$$0{,}6+0{,}4=1.$$

---

12. Beispiel mit einem Würfel

Ein Würfel wird

$$20$$

Mal geworfen.

Die Zahl $6$ tritt

$$5$$

Mal auf.

Dann:

$$h(6)=5.$$

Relative Häufigkeit:

$$r(6) = \frac{5}{20} = \frac14 = 0{,}25 = 25\%.$$

Also:

$$\boxed{r(6)=25\%}.$$

---

13. Absolute und relative Häufigkeit unterscheiden

Beispiel:

$$h(6)=5, \qquad r(6)=25\%.$$

Die absolute Häufigkeit ist:

$$\boxed{5}$$

und beschreibt die Anzahl.

Die relative Häufigkeit ist:

$$\boxed{25\%}$$

und beschreibt den Anteil an allen Versuchen.

Diese beiden Angaben dürfen nicht verwechselt werden.

---

14. Relative Häufigkeiten vergleichen

Relative Häufigkeiten eignen sich besonders gut, wenn Versuchsreihen unterschiedlich lang sind.

Versuch A

Eine Münze wird $20$-mal geworfen.

Kopf tritt $12$-mal auf.

$$r_A(K) = \frac{12}{20} = 0{,}6 = 60\%.$$

Versuch B

Eine Münze wird $50$-mal geworfen.

Kopf tritt $28$-mal auf.

$$r_B(K) = \frac{28}{50} = 0{,}56 = 56\%.$$

Obwohl in Versuch B absolut mehr Kopf-Ergebnisse auftreten, ist die relative Häufigkeit in Versuch A größer:

$$60\%>56\%.$$

---

15. Warum absolute Häufigkeiten allein oft nicht reichen

Vergleiche:

• Versuch A: $12$ Kopf bei $20$ Würfen,
• Versuch B: $28$ Kopf bei $50$ Würfen.

Nur die absoluten Häufigkeiten:

$$12<28.$$

Das könnte den Eindruck erzeugen, Kopf sei in B „häufiger“.

Aber als Anteil:

$$\frac{12}{20}=60\%$$

und

$$\frac{28}{50}=56\%.$$

Damit war Kopf anteilsmäßig in A häufiger.

---

16. Gleiche relative Häufigkeit bei unterschiedlicher Anzahl

Versuch A:

$$4\text{ Treffer bei }10\text{ Versuchen}.$$

Dann:

$$r_A=\frac{4}{10}=40\%.$$

Versuch B:

$$20\text{ Treffer bei }50\text{ Versuchen}.$$

Dann:

$$r_B=\frac{20}{50}=40\%.$$

Die absoluten Häufigkeiten sind verschieden:

$$4\neq20.$$

Die relativen Häufigkeiten sind gleich:

$$\boxed{r_A=r_B=40\%}.$$

---

17. Relative Häufigkeiten als Dezimalzahlen vergleichen

Man kann relative Häufigkeiten auch als Dezimalzahlen vergleichen.

Beispiel:

$$r_A=0{,}48, \qquad r_B=0{,}52.$$

Da

$$0{,}52>0{,}48,$$

ist die relative Häufigkeit in B größer.

Als Prozentwerte:

$$48\%<52\%.$$

---

18. Unterschied zwischen zwei relativen Häufigkeiten

Gegeben:

$$r_A=60\%, \qquad r_B=56\%.$$

Der Unterschied beträgt:

$$60\%-56\%=4$$

Prozentpunkte.

Man sagt:

Die relative Häufigkeit in A ist um $4$ Prozentpunkte höher.

Das ist nicht dasselbe wie eine Erhöhung um $4\%$.

Für dieses Thema genügt vor allem die sichere Formulierung:

$60\%$ ist größer als $56\%$.

---

19. Relative Häufigkeit ist noch keine theoretische Wahrscheinlichkeit

Wenn in einer Versuchsreihe Kopf bei $60\%$ der Würfe auftritt, bedeutet das:

Die beobachtete relative Häufigkeit von Kopf beträgt $60\%$.

Das bedeutet noch nicht automatisch:

Die Wahrscheinlichkeit für Kopf beträgt genau $60\%$.

Die relative Häufigkeit beschreibt zunächst die beobachteten Versuchsdaten.

Wie man damit Wahrscheinlichkeiten schätzt, ist das Thema MG 8.4.

Merke: MG 8.3 beschreibt Beobachtungen. MG 8.4 verbindet diese Beobachtungen mit Wahrscheinlichkeitsschätzungen.

---

20. Kurze Versuchsreihen können stark schwanken

Eine Münze wird viermal geworfen.

Eine mögliche Folge ist:

$$K,\ K,\ K,\ K.$$

Dann:

$$r(K)=\frac44=1=100\%.$$

Das ist eine mögliche Versuchsreihe.

Daraus darf man aber noch nicht schließen, dass Kopf bei jedem zukünftigen Wurf auftreten wird.

Kurze Versuchsreihen können starke Schwankungen zeigen.

---

21. Ergebnisse aus einer Tabelle auswerten

Gegeben:

Zuerst:

$$n=3+5+4+2+3+3=20.$$

Für das Ergebnis $2$:

$$r(2) = \frac{5}{20} = 25\%.$$

Für das Ergebnis $4$:

$$r(4) = \frac{2}{20} = 10\%.$$

Damit:

$$r(2)>r(4).$$

Das Ergebnis $2$ trat anteilsmäßig häufiger auf als das Ergebnis $4$.

---

22. Häufigkeit eines Ereignisses

Die gleichen Ideen lassen sich auch auf ein Ereignis anwenden.

Beim Würfelwurf sei:

$$E=\{2,4,6\}$$

das Ereignis „gerade Zahl“.

Bei $20$ Würfen treten gerade Zahlen insgesamt $11$-mal auf.

Dann ist die absolute Häufigkeit des Ereignisses:

$$h(E)=11.$$

Die relative Häufigkeit ist:

$$r(E) = \frac{11}{20} = 0{,}55 = 55\%.$$

So kann man nicht nur einzelne Ergebnisse, sondern auch zusammengefasste Ereignisse zählen.

---

23. Typische Fehler

Fehler 1: Ergebniswert mit Häufigkeit verwechseln

$$h(5)=3$$

bedeutet: Die $5$ trat dreimal auf.

Fehler 2: Absolute und relative Häufigkeit verwechseln

Absolute Häufigkeit = Anzahl.

Relative Häufigkeit = Anteil.

Fehler 3: Falsch herum dividieren

Richtig:

$$r=\frac{h}{n}.$$

Fehler 4: Unterschiedlich lange Versuchsreihen nur mit absoluten Häufigkeiten vergleichen

Für faire Anteilsvergleiche sind relative Häufigkeiten besser geeignet.

Fehler 5: Relative Häufigkeit sofort als exakte Wahrscheinlichkeit behandeln

Relative Häufigkeit beschreibt zunächst die beobachtete Versuchsreihe.

Fehler 6: Prozentwerte ohne Bezug auf die Gesamtzahl nennen

$60\%$ bedeutet immer $60\%$ von einer bestimmten Gesamtzahl $n$.

---

24. Das Wichtigste auf einen Blick

Absolute Häufigkeit:

$$\boxed{ h=\text{Anzahl, wie oft ein Ergebnis auftritt} }$$

Relative Häufigkeit:

$$\boxed{ r=\frac{h}{n} }$$

Kontrollen, hier für die beiden Ergebnisse Kopf und Zahl vollständig ausgeschrieben:

$$\boxed{ h(K)+h(Z)=n }$$

und

$$\boxed{ r(K)+r(Z)=1=100\% }.$$

Beim Vergleichen unterschiedlich langer Versuchsreihen:

Relative Häufigkeiten vergleichen, nicht nur absolute Anzahlen.

Wichtig:

Die relative Häufigkeit ist zunächst ein beobachteter Anteil. Erst im nächsten Thema wird sie zur Schätzung einer Wahrscheinlichkeit verwendet.