Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit

Kompetenzcode: MG 8.4

In MG 8.3 hast du die relative Häufigkeit kennengelernt.

Wenn ein Ereignis $E$ in $n$ Versuchen $h(E)$-mal eintritt, gilt:

$$r(E)=\frac{h(E)}{n}.$$

Diese relative Häufigkeit beschreibt zunächst nur die tatsächlich beobachtete Versuchsreihe.

Wenn wir einen Zufallsversuch oft unter vergleichbaren Bedingungen wiederholen, können wir die relative Häufigkeit aber als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit verwenden.

In diesem Kapitel lernst du,

• Wahrscheinlichkeit durch relative Häufigkeit zu schätzen,
• eine Schätzung durch mehr Versuche zu verbessern,
• eine experimentell bestimmte Wahrscheinlichkeit richtig zu interpretieren.

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1. Von der Beobachtung zur Schätzung

Eine Münze wird

$$100$$

Mal geworfen.

Das Ereignis

$$E=\text{„Kopf“}$$

tritt

$$54$$

Mal ein.

Die relative Häufigkeit ist:

$$r(E) = \frac{54}{100} = 0{,}54 = 54\%.$$

Wir verwenden diesen beobachteten Anteil als Schätzung für die Wahrscheinlichkeit:

$$\boxed{ \hat p(E)=0{,}54 }$$

Das Zeichen

$$\hat p$$

spricht man hier als „geschätzte Wahrscheinlichkeit“.

Eine passende Aussage lautet:

Auf Grundlage der $100$ Würfe wird die Wahrscheinlichkeit für Kopf auf ungefähr $54\%$ geschätzt.

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2. Warum steht ungefähr?

Die Versuchsreihe hätte auch anders ausfallen können.

Bei weiteren $100$ Würfen könnten zum Beispiel:

$$48$$

oder

$$57$$

Kopf-Ergebnisse auftreten.

Dann würden sich andere relative Häufigkeiten ergeben.

Deshalb ist

$$\hat p(E)=54\%$$

ein Schätzwert und kein automatisch exakter Wert.

Merke: Experimentelle Daten liefern eine Schätzung. Sie verraten die unbekannte Wahrscheinlichkeit nicht exakt.

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3. Wahrscheinlichkeit durch relative Häufigkeit schätzen

Der Rechenweg ist einfach:

Schritt 1: Ereignis festlegen

Zum Beispiel:

$$E=\text{„eine 6 würfeln“}.$$

Schritt 2: Treffer zählen

Ein Würfel wird $120$-mal geworfen.

Die $6$ tritt $18$-mal auf.

Also:

$$h(E)=18.$$

Schritt 3: Gesamtzahl notieren

$$n=120.$$

Schritt 4: relative Häufigkeit berechnen

$$r(E) = \frac{18}{120} = 0{,}15.$$

Schritt 5: als Schätzung verwenden

$$\boxed{ \hat p(E)\approx0{,}15=15\% }$$

Eine passende Deutung:

Aufgrund der $120$ Würfe wird die Wahrscheinlichkeit für eine $6$ auf ungefähr $15\%$ geschätzt.

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4. Schätzung für ein Ereignis mit mehreren Ergebnissen

Ein Würfel wird $200$-mal geworfen.

Gesucht ist eine Schätzung für das Ereignis

$$E=\text{„gerade Augenzahl“}.$$

Zu $E$ gehören:

$$2,\ 4,\ 6.$$

Insgesamt treten diese Ergebnisse in der Versuchsreihe $104$-mal auf.

Damit:

$$h(E)=104.$$

Relative Häufigkeit:

$$r(E) = \frac{104}{200} = 0{,}52.$$

Also:

$$\boxed{ \hat p(E)\approx0{,}52=52\% }.$$

Es spielt keine Rolle, ob $E$ aus einem einzelnen Ergebnis oder mehreren Ergebnissen besteht: Entscheidend ist, wie oft das Ereignis insgesamt eingetreten ist.

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5. Experiment und Theorie nicht verwechseln

In diesem Thema wird Wahrscheinlichkeit aus Beobachtungen geschätzt.

Wir verwenden:

$$\boxed{ \hat p(E)\approx r(E) }$$

Die Schätzung stammt aus einer Versuchsreihe.

Im nächsten Thema MG 8.5 lernst du einen anderen Weg kennen: Bei geeigneten Zufallsversuchen kann eine Wahrscheinlichkeit theoretisch mit der Laplace-Regel berechnet werden.

Hier gilt zunächst:

Beobachtete Treffer $\rightarrow$ relative Häufigkeit $\rightarrow$ Wahrscheinlichkeitsschätzung.

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6. Warum mehr Versuche helfen

Bei wenigen Versuchen kann eine einzelne Beobachtung einen großen Einfluss haben.

Beispiel:

Nach $4$ Münzwürfen wurden $3$-mal Kopf beobachtet.

$$r(K)=\frac34=75\%.$$

Ein weiterer Kopf-Wurf ergibt:

$$\frac45=80\%.$$

Ein weiterer Zahl-Wurf ergibt dagegen:

$$\frac35=60\%.$$

Ein einzelner zusätzlicher Wurf verändert die relative Häufigkeit also stark.

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7. Bei vielen Versuchen wirkt ein einzelnes Ergebnis weniger stark

Angenommen, nach $1000$ Versuchen trat ein Ereignis $510$-mal ein.

Dann:

$$r(E) = \frac{510}{1000} = 0{,}51.$$

Tritt das Ereignis beim nächsten Versuch erneut ein:

$$r_{\text{neu}}(E) = \frac{511}{1001} \approx0{,}5105.$$

Tritt es nicht ein:

$$r_{\text{neu}}(E) = \frac{510}{1001} \approx0{,}5095.$$

Die relative Häufigkeit verändert sich nur noch wenig.

Merke: Je größer die Versuchsanzahl, desto kleiner ist normalerweise der Einfluss eines einzelnen zusätzlichen Ergebnisses.

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8. Stabilisierung der relativen Häufigkeit

Bei vielen Wiederholungen unter vergleichbaren Bedingungen beobachtet man typischerweise:

Die relative Häufigkeit schwankt weiter, aber die Schwankungen werden meist kleiner und der Wert stabilisiert sich zunehmend.

Eine mögliche Münzwurf-Auswertung könnte so aussehen:

Diese Zahlen sind nur ein Beispiel für eine mögliche Versuchsreihe.

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9. Mehr Versuche bedeuten nicht: immer näher

Eine wichtige Feinheit:

Mehr Versuche machen eine Schätzung typischerweise zuverlässiger, aber nicht jeder einzelne neue Versuch muss die relative Häufigkeit sofort näher an den gesuchten Wert bringen.

Beispiel:

Eine relative Häufigkeit könnte nacheinander lauten:

$$0{,}49,\ 0{,}51,\ 0{,}505,\ 0{,}508,\ 0{,}503.$$

Sie schwankt weiterhin.

Darum ist diese Aussage falsch:

„Mit jedem zusätzlichen Versuch wird die Schätzung garantiert besser.“

Besser:

„Bei vielen Wiederholungen wird die relative Häufigkeit typischerweise stabiler und eignet sich dadurch besser als Schätzwert.“

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10. Zwei Schätzungen vergleichen

Versuchsreihe A:

$$20$$

Versuche, davon $13$ Treffer.

$$\hat p_A = \frac{13}{20} = 65\%.$$

Versuchsreihe B:

$$1000$$

Versuche, davon $518$ Treffer.

$$\hat p_B = \frac{518}{1000} = 51{,}8\%.$$

Welche Schätzung ist auf Grundlage des Experiments normalerweise aussagekräftiger?

Die zweite Schätzung beruht auf viel mehr Versuchen.

Darum ist sie typischerweise stabiler.

Das bedeutet nicht, dass eine große Versuchsreihe mathematisch garantiert den exakten Wert liefert. Sie liefert aber eine bessere experimentelle Grundlage.

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11. Mehrere kleine Versuchsreihen zusammenfassen

Angenommen, drei Gruppen untersuchen denselben Zufallsversuch unter vergleichbaren Bedingungen.

Gruppe A

$$40\text{ Versuche},\qquad18\text{ Treffer}$$

Gruppe B

$$60\text{ Versuche},\qquad32\text{ Treffer}$$

Gruppe C

$$100\text{ Versuche},\qquad49\text{ Treffer}$$

Gemeinsam:

$$n=40+60+100=200.$$

Treffer:

$$h(E)=18+32+49=99.$$

Damit:

$$\hat p(E) \approx \frac{99}{200} = 0{,}495 = 49{,}5\%.$$

Wenn die Versuche wirklich unter vergleichbaren Bedingungen durchgeführt wurden, kann das Zusammenfassen die Datenbasis vergrößern.

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12. Experimentelle Wahrscheinlichkeit interpretieren

Angenommen, aus $400$ Versuchen ergibt sich:

$$\hat p(E)=0{,}23.$$

Das bedeutet:

Aufgrund der bisherigen Versuche wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$ auf ungefähr $23\%$ geschätzt.

Oder:

Bei vielen weiteren Versuchen unter vergleichbaren Bedingungen würde man erwarten, dass der Anteil der Treffer langfristig ungefähr in diesem Bereich liegt.

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13. Was bedeutet $23\%$ nicht?

Die Schätzung

$$\hat p(E)=23\%$$

bedeutet nicht:

Das Ereignis tritt in den nächsten $100$ Versuchen sicher genau $23$-mal ein.

Sie bedeutet auch nicht:

Nach vier Fehlschlägen muss nun ein Treffer kommen.

Einzelne Ergebnisse bleiben zufällig.

Wahrscheinlichkeit beschreibt keine feste Reihenfolge zukünftiger Ergebnisse.

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14. Wahrscheinlichkeit ist keine Garantie

Eine geschätzte Wahrscheinlichkeit von

$$90\%$$

bedeutet nicht, dass das Ereignis beim nächsten Versuch sicher eintritt.

Auch ein Ereignis mit hoher Wahrscheinlichkeit kann ausbleiben.

Umgekehrt kann ein Ereignis mit kleiner Wahrscheinlichkeit eintreten.

Eine Wahrscheinlichkeit beschreibt eine Chance, keine Garantie für den Einzelfall.

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15. Die Bedingungen müssen vergleichbar bleiben

Eine experimentelle Schätzung ist nur sinnvoll für einen Zufallsversuch unter vergleichbaren Bedingungen.

Beispiel:

Du testest ein Glücksrad.

Nach $500$ Drehungen wird „Rot“ auf $30\%$ geschätzt.

Danach wird das Glücksrad verändert.

Nun sind die roten Flächen größer.

Die alte Schätzung darf nicht einfach unverändert auf das veränderte Glücksrad übertragen werden.

Merke: Ändern sich die Bedingungen, kann sich auch die Wahrscheinlichkeit ändern.

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16. Schätzung angemessen formulieren

Gegeben:

$$n=250, \qquad h(E)=72.$$

Dann:

$$r(E) = \frac{72}{250} = 0{,}288 = 28{,}8\%.$$

Eine gute Formulierung lautet:

Auf Grundlage von $250$ Versuchen wird die Wahrscheinlichkeit für $E$ auf ungefähr $28{,}8\%$ geschätzt.

Weniger gut wäre:

Die Wahrscheinlichkeit ist genau $28{,}8\%$.

Denn das Experiment liefert nur eine Schätzung.

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17. Aussagekraft einer Schätzung beurteilen

Beim Interpretieren helfen drei Fragen:

1. Wie viele Versuche wurden durchgeführt?

Mehr Versuche liefern typischerweise eine stabilere Grundlage.

2. Wurden die Versuche unter vergleichbaren Bedingungen durchgeführt?

Nur dann dürfen die Ergebnisse sinnvoll gemeinsam interpretiert werden.

3. Wird die Zahl als Schätzung formuliert?

Wörter wie

• „ungefähr“,
• „geschätzt“,
• „auf Grundlage der Versuche“

sind hier wichtig.

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18. Beispiel: Daten richtig und falsch deuten

Ein Glücksrad wird $300$-mal gedreht.

Rot tritt $81$-mal auf.

Dann:

$$\hat p(\text{Rot}) \approx \frac{81}{300} = 0{,}27 = 27\%.$$

Richtig

Auf Grundlage der $300$ Drehungen wird die Wahrscheinlichkeit für Rot auf ungefähr $27\%$ geschätzt.

Falsch

Rot wird bei den nächsten $100$ Drehungen genau $27$-mal auftreten.

Ebenfalls falsch

Die exakte Wahrscheinlichkeit für Rot ist bewiesen $27\%$.

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19. Typische Fehler

Fehler 1: Relative Häufigkeit als exakten Wahrscheinlichkeitswert ausgeben

Besser:

$$\hat p(E)\approx r(E).$$

Fehler 2: Sehr kurze Versuchsreihe überbewerten

Bei wenigen Versuchen können relative Häufigkeiten stark schwanken.

Fehler 3: Glauben, jeder neue Versuch müsse die Schätzung verbessern

Die Schätzung kann zwischendurch wieder etwas stärker abweichen.

Fehler 4: Wahrscheinlichkeit als sichere Vorhersage verstehen

Eine Wahrscheinlichkeit sagt nicht, welches Ergebnis beim nächsten Einzelversuch eintreten wird.

Fehler 5: Veränderte Versuchsbedingungen ignorieren

Eine Schätzung gilt nur für den untersuchten Versuch unter vergleichbaren Bedingungen.

Fehler 6: Nur Prozentwert nennen, aber Datenbasis verschweigen

$52\%$ aus $25$ Versuchen sind experimentell anders zu beurteilen als $52\%$ aus $10\,000$ Versuchen.

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20. Das Wichtigste auf einen Blick

Relative Häufigkeit:

$$\boxed{ r(E)=\frac{h(E)}{n} }$$

Experimentelle Wahrscheinlichkeitsschätzung:

$$\boxed{ \hat p(E)\approx r(E) }$$

Mehr Versuche:

• verringern den Einfluss einzelner Ergebnisse,
• lassen relative Häufigkeiten typischerweise stabiler werden,
• liefern deshalb meist eine bessere Grundlage für die Schätzung.

Aber:

Mehr Versuche garantieren nicht, dass jeder neue Zwischenstand näher am unbekannten Wahrscheinlichkeitswert liegt.

Eine experimentelle Wahrscheinlichkeit bedeutet:

Auf Grundlage der durchgeführten Versuche wird die Chance eines Ereignisses ungefähr geschätzt.

Sie ist keine Garantie für einzelne zukünftige Versuche und kein automatisch exakter Wahrscheinlichkeitswert.