Laplace-Wahrscheinlichkeit

Kompetenzcode: MG 8.5

Manche Wahrscheinlichkeiten kann man berechnen, ohne zuerst sehr viele Versuche durchzuführen.

Das funktioniert bei Laplace-Versuchen.

Ein Laplace-Versuch ist ein Zufallsversuch, bei dem alle betrachteten Elementarergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Dann gilt für ein Ereignis $E$:

$$\boxed{ P(E) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}} {\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} }$$

Kurz:

$$\boxed{ P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|} }$$

Dabei bedeutet:

• $\Omega$: Grundraum, also alle möglichen Elementarergebnisse,
• $E$: Ereignis,
• $|\Omega|$: Anzahl aller möglichen Elementarergebnisse,
• $|E|$: Anzahl der günstigen Ergebnisse.

In diesem Kapitel lernst du,

• einen Laplace-Versuch zu erkennen,
• günstige Ergebnisse zu bestimmen,
• mögliche Ergebnisse zu bestimmen,
• Laplace-Wahrscheinlichkeiten zu berechnen,
• Wahrscheinlichkeiten im Kontext zu deuten.

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1. Wann liegt ein Laplace-Versuch vor?

Bei einem Laplace-Versuch müssen die einzelnen Elementarergebnisse gleich wahrscheinlich sein.

Beispiel:

Ein fairer sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen.

Die Elementarergebnisse sind:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Bei einem fairen Würfel hat jede Augenzahl dieselbe Chance.

Deshalb ist der Versuch ein Laplace-Versuch.

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2. Faire Münze

Eine faire Münze wird einmal geworfen.

Grundraum:

$$\Omega=\{\text{Kopf},\text{Zahl}\}.$$

Beide Elementarergebnisse sind gleich wahrscheinlich.

Also handelt es sich um einen Laplace-Versuch.

Für das Ereignis

$$E=\{\text{Kopf}\}$$

gilt:

$$P(E) = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%.$$

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3. Glücksrad mit gleich großen Sektoren

Ein Glücksrad besitzt vier gleich große Sektoren:

• Rot,
• Blau,
• Grün,
• Gelb.

Wenn jeder Sektor genau gleich groß ist und das Rad fair funktioniert, sind die vier Sektorergebnisse gleich wahrscheinlich.

Dann kann man die Laplace-Regel anwenden.

Zum Beispiel:

$$P(\text{Rot}) = \frac14 = 25\%.$$

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4. Wann ist ein Versuch nicht Laplace?

Ein Glücksrad hat drei Sektoren:

• Rot: halber Kreis,
• Blau: Viertelkreis,
• Grün: Viertelkreis.

Die drei Farbergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich.

Rot nimmt die Hälfte des Kreises ein.

Blau und Grün jeweils nur ein Viertel.

Deshalb wäre

$$P(\text{Rot})=\frac13$$

falsch.

Die Regel

$$\frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{mögliche Ergebnisse}}$$

darf nur verwendet werden, wenn die gezählten Elementarergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

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5. Gleich viele Namen bedeuten nicht gleiche Wahrscheinlichkeit

In einem Beutel liegen:

• $5$ rote Kugeln,
• $3$ blaue Kugeln,
• $2$ grüne Kugeln.

Es wird blind eine Kugel gezogen.

Die drei Farben sind nicht gleich wahrscheinlich.

Darum darf man nicht rechnen:

$$P(\text{Rot})=\frac13.$$

Wenn jedoch jede einzelne Kugel als Elementarergebnis betrachtet wird und jede Kugel gleich wahrscheinlich gezogen wird, gibt es insgesamt:

$$10$$

gleich wahrscheinliche Kugelergebnisse.

Davon sind $5$ rot.

Dann:

$$P(\text{Rot}) = \frac{5}{10} = \frac12.$$

Merke: Entscheidend ist nicht die Anzahl der Kategorien, sondern die Anzahl der gleich wahrscheinlichen Elementarergebnisse.

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6. Laplace-Versuch erkennen: sichere Checkliste

Prüfe vor jeder Laplace-Rechnung:

1. Ist es ein Zufallsversuch?

Das konkrete Ergebnis steht vorher nicht sicher fest.

2. Kenne ich die möglichen Elementarergebnisse?

Der Grundraum muss vollständig beschreibbar sein.

3. Sind diese Elementarergebnisse gleich wahrscheinlich?

Nur dann darfst du die Laplace-Regel direkt anwenden.

Wenn die Antwort auf die dritte Frage „nein“ ist, ist die einfache Laplace-Formel nicht zulässig.

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7. Was bedeutet „günstig“?

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung bedeutet günstig nicht „gut“ oder „erwünscht“.

Ein günstiges Ergebnis ist einfach ein Ergebnis, das zum betrachteten Ereignis gehört.

Beispiel:

Würfelereignis $E$: „Augenzahl größer als 4“.

Grundraum:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Zum Ereignis gehören:

$$5,\ 6.$$

Also:

$$\boxed{ E=\{5,6\} }$$

und damit:

$$\boxed{|E|=2}.$$

Diese zwei Ergebnisse heißen für dieses Ereignis günstige Ergebnisse.

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8. Günstige Ergebnisse bestimmen

Gegeben ist ein fairer Würfel.

Ereignis:

„Es fällt eine gerade Zahl.“

Wir prüfen die möglichen Ergebnisse:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6.$$

Gerade sind:

$$2,\ 4,\ 6.$$

Damit:

$$E=\{2,4,6\}$$

und:

$$\boxed{|E|=3}.$$

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9. Beispiel: Primzahl würfeln

Ereignis:

„Die Augenzahl ist eine Primzahl.“

Grundraum:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Primzahlen unter diesen Ergebnissen sind:

$$2,\ 3,\ 5.$$

Also:

$$E=\{2,3,5\}.$$

Damit:

$$\boxed{|E|=3}.$$

Achtung:

$$1$$

ist keine Primzahl.

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10. Beispiel: Zahl kleiner als 5

Ereignis:

„Die Augenzahl ist kleiner als $5$.“

Günstige Ergebnisse:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4.$$

Also:

$$\boxed{ E=\{1,2,3,4\} }$$

und:

$$\boxed{|E|=4}.$$

Beim Wort „kleiner als“ gehört $5$ selbst nicht dazu.

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11. Mögliche Ergebnisse bestimmen

Die möglichen Ergebnisse sind alle Elementarergebnisse des Grundraums.

Beim fairen Würfel:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Daher:

$$\boxed{|\Omega|=6}.$$

Beim fairen Münzwurf:

$$\Omega=\{\text{Kopf},\text{Zahl}\}.$$

Daher:

$$\boxed{|\Omega|=2}.$$

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12. Mögliche Ergebnisse vollständig zählen

Bei einer Laplace-Aufgabe ist ein unvollständiger Grundraum besonders gefährlich.

Beispiel:

Eine Karte mit einer Zahl von $1$ bis $10$ wird zufällig gezogen.

Dann:

$$\Omega = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}.$$

Also:

$$\boxed{|\Omega|=10}.$$

Nicht nur die günstigen Ergebnisse zählen – zuerst muss klar sein, wie viele gleich wahrscheinliche mögliche Ergebnisse es insgesamt gibt.

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13. Beispiel mit nummerierten Karten

Es gibt zehn gleichartige Karten mit den Zahlen

$$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.$$

Eine Karte wird zufällig gezogen.

Ereignis:

„Die Zahl ist durch $3$ teilbar.“

Günstige Ergebnisse:

$$3,\ 6,\ 9.$$

Also:

$$|E|=3.$$

Mögliche Ergebnisse:

$$|\Omega|=10.$$

Damit:

$$P(E) = \frac{3}{10} = 0{,}3 = 30\%.$$

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14. Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnen

Der sichere Rechenweg lautet:

1. Prüfen, ob Laplace vorliegt.
2. Grundraum $\Omega$ bestimmen.
3. Ereignis $E$ bestimmen.
4. $|\Omega|$ zählen.
5. $|E|$ zählen.
6. Bruch bilden und bei Bedarf kürzen oder umwandeln.

Formel:

$$\boxed{ P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|} }$$

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15. Beispiel: gerade Zahl beim Würfel

Grundraum:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Ereignis:

$$E=\{2,4,6\}.$$

Damit:

$$|\Omega|=6, \qquad |E|=3.$$

Also:

$$P(E) = \frac{3}{6} = \frac12 = 0{,}5 = 50\%.$$

Ergebnis:

$$\boxed{ P(\text{gerade Zahl})=50\% }.$$

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16. Beispiel: Zahl größer als 4

Ereignis:

$$E=\{5,6\}.$$

Günstige Ergebnisse:

$$|E|=2.$$

Mögliche Ergebnisse:

$$|\Omega|=6.$$

Damit:

$$P(E) = \frac{2}{6} = \frac13.$$

Als Prozentzahl:

$$\frac13 = 0{,}333\ldots \approx 33{,}3\%.$$

Also:

$$\boxed{ P(E)\approx33{,}3\% }.$$

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17. Beispiel: sichere Wahrscheinlichkeit

Beim Würfel lautet das Ereignis:

„Die Augenzahl liegt zwischen $1$ und $6$.“

Dann:

$$E=\Omega.$$

Also:

$$|E|=|\Omega|=6.$$

Damit:

$$P(E) = \frac66 = 1 = 100\%.$$

Ein sicheres Ereignis besitzt die Wahrscheinlichkeit:

$$\boxed{1=100\%}.$$

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18. Beispiel: unmögliche Wahrscheinlichkeit

Ereignis:

„Beim normalen Würfel fällt eine $8$.“

Dann:

$$E=\varnothing.$$

Also:

$$|E|=0.$$

Damit:

$$P(E) = \frac06 = 0.$$

Ein unmögliches Ereignis besitzt die Wahrscheinlichkeit:

$$\boxed{0=0\%}.$$

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19. Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1

Für jede Wahrscheinlichkeit gilt:

$$\boxed{ 0\le P(E)\le1 }.$$

Als Prozentzahl:

$$\boxed{ 0\%\le P(E)\le100\% }.$$

Wenn du zum Beispiel

$$P(E)=1{,}4$$

oder

$$P(E)=140\%$$

erhältst, ist sicher ein Fehler passiert.

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20. Bruch, Dezimalzahl und Prozent

Wahrscheinlichkeiten können in verschiedenen Formen angegeben werden.

Beispiel:

$$\frac14 = 0{,}25 = 25\%.$$

Oder:

$$\frac35 = 0{,}6 = 60\%.$$

Wenn keine bestimmte Form verlangt wird, ist ein vollständig gekürzter Bruch oft besonders exakt.

Bei Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen muss gerundet werden.

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21. Laplace-Wahrscheinlichkeit im Kontext deuten

Angenommen:

$$P(E)=\frac14=25\%.$$

Dann bedeutet das:

Bei diesem Laplace-Modell besitzt das Ereignis $E$ eine Chance von $25\%$.

Oder:

Bei sehr vielen Wiederholungen unter denselben Modellbedingungen würde man erwarten, dass $E$ langfristig ungefähr bei einem Viertel der Versuche eintritt.

Das bedeutet nicht:

In jeweils vier Versuchen tritt $E$ sicher genau einmal ein.

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22. Wahrscheinlichkeit und einzelner Versuch

Bei einem fairen Würfel gilt:

$$P(6)=\frac16.$$

Das heißt nicht, dass nach fünf Würfen ohne $6$ beim sechsten Wurf sicher eine $6$ kommen muss.

Jeder einzelne Wurf bleibt zufällig.

Die Wahrscheinlichkeit beschreibt die Chance innerhalb des Modells.

Sie legt keine feste Reihenfolge fest.

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23. Wahrscheinlichkeit vergleichen

Gegeben sind zwei Ereignisse beim fairen Würfel:

$$A=\{6\},$$ $$B=\{4,5,6\}.$$

Dann:

$$P(A) = \frac16,$$ $$P(B) = \frac36 = \frac12.$$

Da:

$$\frac12>\frac16,$$

ist $B$ wahrscheinlicher als $A$.

Eine passende Aussage lautet:

Beim fairen Würfel ist eine Augenzahl von mindestens $4$ wahrscheinlicher als genau eine $6$.

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24. Theoretische und experimentelle Wahrscheinlichkeit vergleichen

MG 8.4:

Eine Wahrscheinlichkeit wurde aus relativen Häufigkeiten geschätzt.

MG 8.5:

Bei einem Laplace-Modell wird die Wahrscheinlichkeit aus gleich wahrscheinlichen Elementarergebnissen berechnet.

Beispiel fairer Würfel:

Theoretisch:

$$P(6)=\frac16\approx16{,}7\%.$$

In einer konkreten Versuchsreihe könnte die relative Häufigkeit der $6$ aber zum Beispiel

$$15\%$$

betragen.

Das ist kein Widerspruch.

Die relative Häufigkeit kann schwanken.

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25. Typische Fehler

Fehler 1: Laplace-Regel ohne Gleichwahrscheinlichkeit verwenden

Die Formel

$$P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$$

gilt nur, wenn die gezählten Elementarergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Fehler 2: Kategorien statt Elementarergebnisse zählen

Bei $5$ roten, $3$ blauen und $2$ grünen Kugeln sind nicht automatisch drei gleich wahrscheinliche Farbergebnisse vorhanden.

Fehler 3: Günstig mit „erwünscht“ verwechseln

Günstig bedeutet nur:

gehört zum betrachteten Ereignis.

Fehler 4: Grundraum unvollständig bestimmen

Alle möglichen Elementarergebnisse müssen berücksichtigt werden.

Fehler 5: Zähler und Nenner vertauschen

Richtig:

$$\frac{\text{günstig}}{\text{möglich}}.$$

Fehler 6: Wahrscheinlichkeit größer als 1 erhalten

Es muss gelten:

$$0\le P(E)\le1.$$

Fehler 7: Wahrscheinlichkeit als Garantie deuten

Auch ein sehr wahrscheinliches Ereignis muss beim nächsten Versuch nicht eintreten.

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26. Das Wichtigste auf einen Blick

Laplace-Versuch:

$$\boxed{ \text{Alle betrachteten Elementarergebnisse sind gleich wahrscheinlich.} }$$

Grundraum:

$$\Omega=\text{Menge aller möglichen Elementarergebnisse}.$$

Ereignis:

$$E=\text{Menge der günstigen Ergebnisse}.$$

Laplace-Wahrscheinlichkeit:

$$\boxed{ P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|} }$$

Kontrolle:

$$\boxed{ 0\le P(E)\le1 }$$

beziehungsweise:

$$\boxed{ 0\%\le P(E)\le100\% }.$$

Der wichtigste Arbeitsplan:

1. Laplace-Bedingung prüfen.
2. Mögliche Ergebnisse bestimmen.
3. Günstige Ergebnisse bestimmen.
4. Zählen.
5. $\frac{\text{günstig}}{\text{möglich}}$ rechnen.