Gegenereignis

Kompetenzcode: MG 8.6

Zu einem Ereignis $E$ gehört immer ein passendes Gegenereignis.

Das Gegenereignis bedeutet:

Das Ereignis $E$ tritt nicht ein.

Wir schreiben dafür zum Beispiel:

$$\overline{E}$$

oder

$$\neg E.$$

In diesem Kapitel lernst du,

• ein Gegenereignis richtig zu formulieren,
• seine Wahrscheinlichkeit zu berechnen,
• das Gegenereignis zu nutzen, wenn dadurch eine Rechnung einfacher wird.

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1. Was ist ein Gegenereignis?

Wir werfen einen fairen Würfel.

Grundraum:

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Sei

$$E=\text{„Es fällt eine gerade Zahl.“}$$

Dann:

$$E=\{2,4,6\}.$$

Das Gegenereignis lautet:

„Es fällt keine gerade Zahl.“

Das ist dasselbe wie:

„Es fällt eine ungerade Zahl.“

Also:

$$\overline E=\{1,3,5\}.$$

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2. Ereignis und Gegenereignis ergänzen sich

Ereignis und Gegenereignis haben zwei wichtige Eigenschaften.

Sie können nicht gleichzeitig eintreten:

$$\boxed{ E\cap\overline E=\varnothing }$$

Und zusammen enthalten sie alle möglichen Ergebnisse:

$$\boxed{ E\cup\overline E=\Omega }$$

Beim Würfelbeispiel:

$$\{2,4,6\}\cup\{1,3,5\} = \{1,2,3,4,5,6\}.$$

Damit ist jedes mögliche Ergebnis entweder in $E$ oder in $\overline E$.

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3. Gegenereignis formulieren

Ein Gegenereignis soll genau alle Fälle enthalten, in denen das ursprüngliche Ereignis nicht eintritt.

Beispiel:

$$E=\text{„Die Augenzahl ist größer als 4.“}$$

Dann:

$$E=\{5,6\}.$$

Das Gegenereignis lautet:

„Die Augenzahl ist nicht größer als 4.“

Das kann man einfacher formulieren als:

„Die Augenzahl ist höchstens 4.“

Also:

$$\overline E=\{1,2,3,4\}.$$

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4. Sprachlich genau negieren

Beim Formulieren von Gegenereignissen muss man Wörter genau beachten.

Ereignis

„Die Zahl ist größer als 3.“

Gegenereignis:

„Die Zahl ist kleiner oder gleich 3.“

Kurz:

$$x>3 \quad\Longleftrightarrow\quad \overline E:\ x\le3.$$

Ereignis

„Die Zahl ist mindestens 4.“

Das bedeutet:

$$x\ge4.$$

Gegenereignis:

$$x<4.$$

Ereignis

„Die Zahl ist höchstens 2.“

Das bedeutet:

$$x\le2.$$

Gegenereignis:

$$x>2.$$

Merke: Beim Gegenereignis muss wirklich jeder Fall außerhalb von $E$ erfasst werden.

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5. Beispiel mit Farben

In einem Beutel befinden sich rote, blaue und grüne Kugeln.

Es wird eine Kugel gezogen.

Ereignis:

$$E=\text{„rot“}.$$

Gegenereignis:

$$\overline E=\text{„nicht rot“}.$$

Da nur drei Farben möglich sind, bedeutet das:

$$\overline E=\{\text{blau},\text{grün}\}.$$

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6. Gegenereignis ist nicht irgendein anderes Ereignis

Beim Würfel sei:

$$E=\text{„gerade Zahl“}.$$

Dann ist

$$A=\text{„Zahl größer als 3“}$$

nicht das Gegenereignis von $E$.

Denn:

$$A=\{4,5,6\}.$$

Das echte Gegenereignis ist:

$$\overline E=\{1,3,5\}.$$

Merke: Das Gegenereignis enthält genau alle Ergebnisse, die nicht zu $E$ gehören.

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7. Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses

Da $E$ und $\overline E$ zusammen den ganzen Grundraum bilden, müssen ihre Wahrscheinlichkeiten zusammen

$$1$$

ergeben.

Also:

$$\boxed{ P(E)+P(\overline E)=1 }$$

Daraus folgt:

$$\boxed{ P(\overline E)=1-P(E) }$$

Als Prozentwerte gilt entsprechend:

$$\boxed{ P(\overline E)=100\%-P(E) }.$$

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8. Beispiel: fairer Würfel

Ereignis:

$$E=\text{„Es fällt eine 6.“}$$

Beim fairen Würfel:

$$P(E)=\frac16.$$

Das Gegenereignis lautet:

„Es fällt keine 6.“

Dann:

$$P(\overline E) = 1-\frac16.$$

Wir schreiben $1$ als Bruch mit Nenner $6$:

$$1=\frac66.$$

Also:

$$P(\overline E) = \frac66-\frac16 = \frac56.$$

Damit:

$$\boxed{ P(\text{keine 6})=\frac56 }.$$

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9. Beispiel mit Prozenten

Gegeben:

$$P(E)=35\%.$$

Dann:

$$P(\overline E) = 100\%-35\% = 65\%.$$

Also:

$$\boxed{ P(\overline E)=65\% }.$$

Kontrolle:

$$35\%+65\%=100\%.$$

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10. Beispiel mit Dezimalzahlen

Gegeben:

$$P(E)=0{,}72.$$

Dann:

$$P(\overline E) = 1-0{,}72 = 0{,}28.$$

Also:

$$\boxed{ P(\overline E)=0{,}28=28\% }.$$

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11. Sicheres und unmögliches Ereignis als Gegenereignisse

Ist $E$ sicher, dann:

$$P(E)=1.$$

Daher:

$$P(\overline E) = 1-1 = 0.$$

Das Gegenereignis eines sicheren Ereignisses ist unmöglich.

Umgekehrt:

Ist $E$ unmöglich, dann:

$$P(E)=0.$$

Daher:

$$P(\overline E) = 1-0 = 1.$$

Das Gegenereignis eines unmöglichen Ereignisses ist sicher.

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12. Gegenereignis zur Vereinfachung nutzen

Manchmal ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zu berechnen.

Dann verwenden wir:

$$\boxed{ P(E)=1-P(\overline E) }$$

Das ist dieselbe Gegenereignisregel nur nach $P(E)$ umgestellt.

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13. Beispiel: „keine 6“

Gesucht:

Wahrscheinlichkeit, beim fairen Würfel keine 6 zu erhalten.

Direkt müssten wir fünf günstige Ergebnisse zählen:

$$1,2,3,4,5.$$

Das geht zwar.

Noch schneller ist:

$$P(\text{6})=\frac16.$$

Also:

$$P(\text{keine 6}) = 1-P(\text{6}) = 1-\frac16 = \frac56.$$

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14. Beispiel mit vielen möglichen Ergebnissen

Es gibt zwanzig gleich wahrscheinliche Karten mit den Zahlen

$$1,2,\ldots,20.$$

Gesucht ist:

Wahrscheinlichkeit, keine durch 5 teilbare Zahl zu ziehen.

Direkt könnte man alle nicht durch $5$ teilbaren Zahlen aufzählen.

Einfacher ist das Gegenereignis:

$$E=\text{„durch 5 teilbar“}.$$

Günstig für $E$ sind:

$$5,\ 10,\ 15,\ 20.$$

Also:

$$P(E) = \frac{4}{20} = \frac15.$$

Gesucht ist $\overline E$:

$$P(\overline E) = 1-\frac15 = \frac45.$$

Damit:

$$\boxed{ P(\text{nicht durch 5 teilbar})=\frac45=80\% }.$$

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15. Wann ist das Gegenereignis besonders praktisch?

Das Gegenereignis ist besonders nützlich, wenn:

• das gesuchte Ereignis sehr viele günstige Ergebnisse enthält,
• das Gegenereignis nur wenige günstige Ergebnisse enthält,
• die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses bereits gegeben ist.

Beispiel:

Gesucht:

„keine 1“

statt fünf günstige Ergebnisse aufzuzählen, kann man rechnen:

$$1-P(1).$$

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16. Beispiel mit gegebener Gegenwahrscheinlichkeit

Gegeben:

$$P(\overline E)=0{,}18.$$

Gesucht:

$$P(E).$$

Es gilt:

$$P(E)=1-P(\overline E).$$

Also:

$$P(E) = 1-0{,}18 = 0{,}82.$$

Damit:

$$\boxed{ P(E)=82\% }.$$

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17. Gegenereignis zuerst richtig formulieren

Die Vereinfachung funktioniert nur, wenn das Gegenereignis korrekt ist.

Beispiel:

$$E=\text{„Augenzahl mindestens 5“}.$$

Dann:

$$E=\{5,6\}.$$

Das Gegenereignis lautet:

$$\overline E=\text{„Augenzahl kleiner als 5“}.$$

Also:

$$\overline E=\{1,2,3,4\}.$$

Falsch wäre:

„Augenzahl kleiner oder gleich 5“

denn dann wäre die $5$ sowohl in $E$ als auch im angeblichen Gegenereignis enthalten.

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18. Kontrolle mit der Summe 1

Nach jeder Gegenereignisrechnung kannst du kontrollieren:

$$P(E)+P(\overline E)=1.$$

Beispiel:

$$P(E)=0{,}37, \qquad P(\overline E)=0{,}63.$$

Kontrolle:

$$0{,}37+0{,}63=1.$$

Die Werte passen zusammen.

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19. Typische Fehler

Fehler 1: Gegenereignis unvollständig formulieren

Zu „größer als 4“ gehört nicht nur „kleiner als 4“, sondern:

$$\boxed{\text{kleiner oder gleich 4}}.$$

Fehler 2: Irgendein anderes Ereignis als Gegenereignis wählen

Das Gegenereignis enthält genau alle Ergebnisse außerhalb von $E$.

Fehler 3: Mit $1+P(E)$ rechnen

Richtig:

$$P(\overline E)=1-P(E).$$

Fehler 4: Prozent und Dezimalzahl vermischen

Bei Prozenten:

$$100\%-P(E).$$

Bei Dezimalzahlen:

$$1-P(E).$$

Fehler 5: Gegenereignis verwenden, obwohl es komplizierter ist

Es ist ein Werkzeug zur Vereinfachung, kein Zwang.

Fehler 6: Ereignis und Gegenereignis überlappen lassen

Es muss gelten:

$$E\cap\overline E=\varnothing.$$

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20. Das Wichtigste auf einen Blick

Gegenereignis:

$$\boxed{ \overline E=\text{„E tritt nicht ein“} }$$

Zusammenhang der Mengen:

$$\boxed{ E\cup\overline E=\Omega }$$

und:

$$\boxed{ E\cap\overline E=\varnothing }.$$

Wahrscheinlichkeiten:

$$\boxed{ P(E)+P(\overline E)=1 }$$

also:

$$\boxed{ P(\overline E)=1-P(E) }$$

und umgekehrt:

$$\boxed{ P(E)=1-P(\overline E) }.$$

Arbeitsplan:

1. Ereignis $E$ genau formulieren.
2. Gegenereignis als „nicht $E$“ formulieren.
3. Sprachliche Grenzen genau prüfen.
4. Einfachere Wahrscheinlichkeit berechnen.
5. Mit $1-$ ergänzen.
6. Mit der Summe $1$ kontrollieren.