Baumdiagramme und mehrstufige Zufallsversuche

Kompetenzcode: MG 8.7

Manche Zufallsversuche bestehen nicht nur aus einem einzigen Schritt.

Beispiele:

• eine Münze zweimal werfen,
• zweimal nacheinander eine Kugel ziehen,
• zuerst würfeln und danach eine Münze werfen.

Solche Versuche heißen mehrstufige Zufallsversuche.

Ein Baumdiagramm hilft dabei, alle möglichen Abläufe übersichtlich darzustellen.

In diesem Kapitel lernst du,

• ein Baumdiagramm zu einem zweistufigen Zufallsversuch zu erstellen,
• Pfade eines Baumdiagramms zu lesen,
• Pfadwahrscheinlichkeiten zu bestimmen,
• Wahrscheinlichkeiten mehrerer günstiger Pfade zusammenzufassen,
• Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsversuchs im Kontext zu interpretieren.

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1. Was bedeutet „zweistufig“?

Ein zweistufiger Zufallsversuch besteht aus zwei nacheinander ausgeführten Zufallsschritten.

Beispiel:

Eine faire Münze wird zweimal geworfen.

Erste Stufe:

$$\text{Kopf oder Zahl}$$

Zweite Stufe:

$$\text{Kopf oder Zahl}$$

Ein vollständiger Ablauf besteht daher aus zwei Ergebnissen.

Zum Beispiel:

$$K\rightarrow Z$$

Das bedeutet:

Beim ersten Wurf fällt Kopf, beim zweiten Wurf Zahl.

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2. Aufbau eines Baumdiagramms

Ein Baumdiagramm wird von links nach rechts oder von oben nach unten gelesen.

Jede Verzweigung steht für die möglichen Ergebnisse einer Stufe.

Beim zweimaligen Münzwurf beginnt der Baum mit zwei Ästen:

$$K \quad\text{und}\quad Z.$$

Von jedem dieser Äste gehen in der zweiten Stufe wieder zwei Äste ab:

$$K \quad\text{und}\quad Z.$$

So entstehen vier vollständige Pfade.

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3. Baumdiagramm erstellen

Beim Erstellen gehst du schrittweise vor.

Schritt 1: Erste Stufe festlegen

Welche Ergebnisse sind im ersten Versuch möglich?

Beispiel Münze:

$$K,\ Z.$$

Schritt 2: Zweite Stufe festlegen

Welche Ergebnisse sind danach möglich?

Wieder:

$$K,\ Z.$$

Schritt 3: Äste zeichnen

Von jedem Ergebnis der ersten Stufe gehen die möglichen Ergebnisse der zweiten Stufe ab.

Schritt 4: Wahrscheinlichkeiten an die Äste schreiben

Bei einer fairen Münze:

$$P(K)=\frac12, \qquad P(Z)=\frac12.$$

Diese Wahrscheinlichkeiten werden an die entsprechenden Äste geschrieben.

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4. Astwahrscheinlichkeiten müssen zusammen 1 ergeben

An jeder Verzweigung müssen die Wahrscheinlichkeiten aller ausgehenden Äste zusammen

$$1$$

ergeben.

Bei der fairen Münze:

$$\frac12+\frac12=1.$$

Das gilt auch in späteren Stufen.

Kontrolle: An jedem Knoten müssen alle möglichen Fortsetzungen vollständig erfasst sein.

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5. Ziehen mit Zurücklegen

In einem Beutel liegen:

• $3$ rote Kugeln,
• $2$ blaue Kugeln.

Es wird zweimal gezogen.

Nach dem ersten Ziehen wird die Kugel zurückgelegt.

Dann sind bei beiden Ziehungen die Bedingungen gleich.

Für Rot gilt in jeder Stufe:

$$P(R)=\frac35.$$

Für Blau:

$$P(B)=\frac25.$$

Die Astwahrscheinlichkeiten bleiben in der zweiten Stufe unverändert.

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6. Ziehen ohne Zurücklegen

Nun liegt wieder ein Beutel mit

• $3$ roten,
• $2$ blauen Kugeln

vor.

Es wird zweimal gezogen, aber die erste Kugel wird nicht zurückgelegt.

Dann ändert sich die Zusammensetzung des Beutels.

Wenn zuerst Rot gezogen wurde, bleiben:

• $2$ rote,
• $2$ blaue Kugeln.

Dann:

$$P(R\mid R)=\frac24=\frac12,$$ $$P(B\mid R)=\frac24=\frac12.$$

Wenn zuerst Blau gezogen wurde, bleiben:

• $3$ rote,
• $1$ blaue Kugel.

Dann:

$$P(R\mid B)=\frac34,$$ $$P(B\mid B)=\frac14.$$

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7. Pfade eines Baumdiagramms lesen

Ein Pfad ist ein vollständiger Weg durch das Baumdiagramm.

Beim zweimaligen Münzwurf gibt es vier Pfade:

$$K\rightarrow K,$$ $$K\rightarrow Z,$$ $$Z\rightarrow K,$$ $$Z\rightarrow Z.$$

Jeder Pfad beschreibt genau einen möglichen vollständigen Ablauf des zweistufigen Versuchs.

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8. Pfad als Ereignis in Worten lesen

Pfad:

$$K\rightarrow Z$$

bedeutet:

zuerst Kopf, danach Zahl.

Pfad:

$$Z\rightarrow Z$$

bedeutet:

zweimal Zahl.

Wichtig ist die Reihenfolge.

$$K\rightarrow Z$$

und

$$Z\rightarrow K$$

sind zwei verschiedene Pfade.

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9. Pfade vollständig aufzählen

Bei zwei Stufen mit je zwei Möglichkeiten entstehen:

$$2\cdot2=4$$

Pfade.

Bei drei Möglichkeiten in der ersten Stufe und zwei Möglichkeiten in der zweiten Stufe wären es:

$$3\cdot2=6$$

Pfade.

Für dieses Thema genügt vor allem:

Alle vollständigen Wege vom Start bis zum Ende des Baums erfassen.

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10. Pfadwahrscheinlichkeit bestimmen

Für die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert.

Beim zweimaligen fairen Münzwurf:

$$P(K\rightarrow Z) = \frac12\cdot\frac12 = \frac14.$$

Also:

$$\boxed{ P(KZ)=\frac14=25\% }$$

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11. Die Pfadregel

Für einen zweistufigen Pfad gilt:

$$\boxed{ P(\text{Pfad}) = P(\text{1. Ast}) \cdot P(\text{2. Ast}) }$$

Diese Regel nennt man Pfadregel oder Multiplikationsregel entlang eines Pfades.

Beispiel:

$$P(R\rightarrow B) = \frac35\cdot\frac25 = \frac{6}{25}.$$

Das gilt hier beim Ziehen mit Zurücklegen.

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12. Pfadwahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen

Beutel:

• $3$ rote Kugeln,
• $2$ blaue Kugeln.

Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.

Gesucht:

zuerst Rot, dann Blau.

Erster Ast:

$$P(R)=\frac35.$$

Nach Rot bleiben $4$ Kugeln, davon $2$ blau.

Zweiter Ast:

$$P(B\mid R)=\frac24=\frac12.$$

Pfadwahrscheinlichkeit:

$$P(R\rightarrow B) = \frac35\cdot\frac12 = \frac{3}{10}.$$

Also:

$$\boxed{ P(RB)=30\% }.$$

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13. Astwahrscheinlichkeiten dürfen sich ändern

Bei mehrstufigen Versuchen darfst du nicht automatisch dieselbe Wahrscheinlichkeit in jeder Stufe verwenden.

Beim Ziehen ohne Zurücklegen hängt die zweite Stufe davon ab, was vorher passiert ist.

Darum ist der Baum so hilfreich:

Er zeigt für jeden vorherigen Verlauf die passenden Wahrscheinlichkeiten der nächsten Stufe.

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14. Mehrere günstige Pfade

Manche Ereignisse können auf mehreren Pfaden eintreten.

Beispiel:

Bei zwei Münzwürfen fällt genau einmal Kopf.

Das kann auf zwei Wegen passieren:

$$K\rightarrow Z$$

oder

$$Z\rightarrow K.$$

Beide Pfade sind günstig.

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15. Wahrscheinlichkeiten günstiger Pfade addieren

Zuerst berechnen wir jede Pfadwahrscheinlichkeit.

$$P(KZ) = \frac12\cdot\frac12 = \frac14.$$ $$P(ZK) = \frac12\cdot\frac12 = \frac14.$$

Dann addieren wir die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Pfade:

$$P(\text{genau einmal Kopf}) = \frac14+\frac14 = \frac12.$$

Also:

$$\boxed{ P(\text{genau einmal Kopf})=50\% }.$$

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16. Die Additionsregel für verschiedene Pfade

Wenn ein Ereignis durch mehrere verschiedene vollständige Pfade eintreten kann, werden die Wahrscheinlichkeiten dieser günstigen Pfade addiert.

$$\boxed{ P(E) = P(\text{günstiger Pfad 1}) + P(\text{günstiger Pfad 2}) +\cdots }$$

Das funktioniert, weil bei einer einzelnen Durchführung nur einer dieser vollständigen Pfade eintreten kann.

Merksatz:
Entlang eines Pfades multiplizieren.
Mehrere günstige Pfade addieren.

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17. Beispiel: mindestens einmal Kopf

Bei zwei Münzwürfen lautet das Ereignis:

mindestens einmal Kopf.

Günstige Pfade:

$$KK,\ KZ,\ ZK.$$

Die drei Pfade haben jeweils Wahrscheinlichkeit:

$$\frac14.$$

Also:

$$P(\text{mindestens einmal Kopf}) = \frac14+\frac14+\frac14 = \frac34.$$

Damit:

$$\boxed{ P(\text{mindestens einmal Kopf})=75\% }.$$

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18. Gegenereignis kann noch kürzer sein

Beim selben Beispiel:

mindestens einmal Kopf.

Das Gegenereignis lautet:

kein Kopf.

Das bedeutet:

$$ZZ.$$

Also:

$$P(ZZ) = \frac12\cdot\frac12 = \frac14.$$

Dann:

$$P(\text{mindestens einmal Kopf}) = 1-\frac14 = \frac34.$$

Beide Wege liefern dasselbe Ergebnis.

Das Gegenereignis aus MG 8.6 kann also auch bei Baumdiagrammen eine Rechnung verkürzen.

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19. Ergebnis eines mehrstufigen Versuchs interpretieren

Angenommen:

$$P(E)=\frac{3}{10}=30\%.$$

Eine passende Aussage lautet:

Unter den angegebenen Versuchsbedingungen beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E$ $30\%$.

Wenn $E$ lautet:

zuerst Rot, dann Blau,

dann:

Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine rote und danach eine blaue Kugel zu ziehen, beträgt $30\%$.

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20. Reihenfolge im Kontext beachten

Bei zweistufigen Versuchen kann die Reihenfolge entscheidend sein.

$$R\rightarrow B$$

bedeutet etwas anderes als:

$$B\rightarrow R.$$

Beim Ziehen ohne Zurücklegen können beide Pfade sogar unterschiedliche Astwahrscheinlichkeiten besitzen.

Daher muss ein Antwortsatz die Reihenfolge klar wiedergeben.

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21. „Genau“, „mindestens“ und „höchstens“

Bei Baumdiagramm-Aufgaben sind Signalwörter wichtig.

Genau einmal Kopf

$$KZ,\ ZK.$$

Mindestens einmal Kopf

$$KK,\ KZ,\ ZK.$$

Kein Kopf

$$ZZ.$$

Das Wort in der Aufgabe entscheidet, welche Pfade günstig sind.

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22. Gesamtkontrolle aller Pfade

Wenn ein Baumdiagramm vollständig ist, müssen die Wahrscheinlichkeiten aller vollständigen Pfade zusammen

$$1$$

ergeben.

Beim zweimaligen Münzwurf:

$$\frac14+\frac14+\frac14+\frac14=1.$$

Diese Kontrolle hilft, fehlende oder falsch berechnete Pfade zu entdecken.

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23. Typische Fehler

Fehler 1: Zweite Stufe nicht von jedem ersten Ergebnis aus zeichnen

Von jedem möglichen Ergebnis der ersten Stufe müssen alle möglichen Fortsetzungen eingezeichnet werden.

Fehler 2: Astwahrscheinlichkeiten nicht kontrollieren

An jeder Verzweigung müssen die Wahrscheinlichkeiten zusammen $1$ ergeben.

Fehler 3: Beim Pfad addieren statt multiplizieren

Richtig:

$$P(\text{Pfad}) = P(\text{Ast 1})\cdot P(\text{Ast 2}).$$

Fehler 4: Mehrere günstige Pfade multiplizieren

Richtig:

Pfade einzeln berechnen und anschließend addieren.

Fehler 5: Mit und ohne Zurücklegen verwechseln

Ohne Zurücklegen können sich die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe ändern.

Fehler 6: Reihenfolge ignorieren

$RB$ und $BR$ sind verschiedene Pfade.

Fehler 7: Signalwörter übersehen

„genau einmal“, „mindestens einmal“ und „kein“ führen zu unterschiedlichen günstigen Pfaden.

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24. Das Wichtigste auf einen Blick

Baumdiagramm:

Zeigt alle möglichen Abläufe eines mehrstufigen Zufallsversuchs.

Pfad:

Ein vollständiger Weg durch den Baum.

Pfadregel:

$$\boxed{ P(\text{Pfad}) = P(\text{1. Ast})\cdot P(\text{2. Ast}) }$$

Mehrere günstige Pfade:

$$\boxed{ P(E) = \text{Summe der Wahrscheinlichkeiten aller günstigen Pfade} }$$

Kontrollen:

• An jeder Verzweigung:

$$\boxed{\text{Summe der Astwahrscheinlichkeiten}=1}$$

• Bei einem vollständigen Baum:

$$\boxed{\text{Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten}=1}$$

Arbeitsplan:

1. Zufallsstufen bestimmen.
2. Baum vollständig zeichnen.
3. Astwahrscheinlichkeiten eintragen.
4. Günstige Pfade markieren.
5. Entlang jedes Pfades multiplizieren.
6. Mehrere günstige Pfade addieren.
7. Ergebnis im Kontext und mit richtiger Reihenfolge deuten.